Sinα/(1−cosα) + (1−cosα)/sinα

Задача: sin α /(1 − cos α) + (1 − cos α)/ sin α Цель: понять и разобрать подробно. Пошаговое решение 1) Запишем как сумму двух дробей и приведём к общему знаменателю. E = sin α /(1 − cos α) + (1 − cos α)/ sin α Общий знаменатель: sin α (1 − cos α) E = [ sin^2 α + (1 − cos α)^2 ] / [ sin α (1 − cos α) ] 2) Упростим числитель используя базовые тождества. sin^2 α + (1 − cos α)^2 = sin^2 α + (1 − 2 cos α + cos^2 α) = (sin^2 α + cos^2 α) + 1 − 2 cos α = 1 + 1 − 2 cos α = 2(1 − cos α) 3) Подставим упрощённый числитель обратно в дробь. E = 2(1 − cos α) / [ sin α (1 − cos α) ] 4) Упростим, сократив общий множитель (1 − cos α) (при соблюдении условий области определения). E = 2 / sin α, если можноCancel (1 − cos α). Это допустимо там, где 1 − cos α ≠ 0, то есть cos α ≠ 1. Также нужна сходимость второй дроби: sin α ≠ 0. 5) Приведём к финальному виду и запишем условия области определения. Таким образом, E = 2 / sin α = 2 csc α, при условии, что синус не равен нулю (sin α ≠ 0), и соответствующая часть оригинальных знаменателей не обращается в ноль. Это эквивалентно α ≠ kπ (кгда k — целое число). Проверка на примере Возьмём α = π/3: sin α = √3/2, cos α = 1/2. Исходная сумма: (√3/2)/(1 − 1/2) + (1 − 1/2)/(√3/2) = (√3/2)/(1/2) + (1/2)/(√3/2) = √3 + 1/√3 ≈ 1.732 + 0.577 ≈ 2.309. Функция 2 csc α: 2 / (√3/2) = 4/√3 ≈ 2.309. Совпадает. Ответ E = 2 / sin α = 2 csc α, при α ≠ kπ (то есть при sin α ≠ 0).