сделать дерево тест по истории сдало 70% учащихся школы, а тест по английскому 85% учащихся. известно, что тест по английскому языку 77% сдало тех, кто сдал тест по истории.…
Сделать дерево тест по истории сдало 70% учащихся школы, а тест по английскому 85% учащихся. известно, что тест по английскому языку 77% сдало тех, кто сдал тест по истории. найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик из тех, кто сдал тест по английскому, также сдал тест по истории
Цель задачи: понять и посчитать вероятность по заданной схеме.
- Обозначения
- Пусть H = студент сдал тест по истории.
- Пусть E = студент сдал тест по английскому. Даны данные:
- P(H) = 0.70 (70% сдали историю)
- P(E) = 0.85 (85% сдали английский)
- P(E | H) = 0.77 (74%? нет, 77% из тех, кто сдал историю, сдали английский)
Нам нужно найти P(H | E) — вероятность того, что студент сдал историю, если он сдал английский.
- Формула и вычисления По Формуле Байеса: P(H | E) = P(E ∩ H) / P(E) = [P(E | H) · P(H)] / P(E)
Вычисляем пересечение: P(E ∩ H) = P(E | H) · P(H) = 0.77 · 0.70 = 0.539
Тогда по данным: P(H | E) = 0.539 / 0.85 ≈ 0.634 ≈ 63.4%
- Важное замечание: противоречие в данных Однако здесь есть проблема: по закону общей вероятности P(E) = P(E | H) P(H) + P(E | not H) P(not H). Из известных:
- P(H) = 0.70 → P(not H) = 0.30
- P(E | H) = 0.77 → вклад истории в P(E) равен 0.539
- Осталось учитывать P(E | not H) · 0.30
Чтобы P(E) было ≤ 0.85, нам обязательно должно выполняться: P(E) = 0.539 + P(E | not H) · 0.30 ≤ 0.85 P(E | not H) ≤ (0.85 − 0.539) / 0.30 ≈ 1.033
Но вероятность не может превышать 1. Это означает, что с данными P(H) = 0.70, P(E | H) = 0.77 и P(E) = 0.85 несовместимы друг с другом. В частности, чтобы соблюдалась цепь вероятностей, P(E) не может быть больше 0.839 (максимум при P(E | not H) = 1): 0.539 + 0.30·1 = 0.839.
- Что можно сделать
- Либо поправить данные: например, P(E) должно быть не более 0.839.
- Либо пересмотреть условие: возможно имелось в виду другое соотношение (например, 77% из тех, кто сдал историю, сдали английский, но тогда P(E) нельзя задать как 0.85 без дополнительных ограничений).
- Вариантные значения (если скорректировать данные)
- Если принять максимальное допустимое P(E) = 0.839, то P(H | E) = 0.539 / 0.839 ≈ 0.642, т.е. примерно 64.2%.
- Если P(E) принять другое допустимое значение, например P(E) = 0.83, тогда P(H | E) = 0.539 / 0.83 ≈ 0.649 ~ 64.9%.
- В общем, при допустимом диапазоне P(E) от 0.539 до 0.839 вероятность P(H | E) лежит в диапазоне от 1 до примерно 0.642. То есть реальная вероятность находится в диапазоне примерно от 64% до 100% в зависимости от фактического значения P(E | not H).
Итог:
- С текущими данными прямой вычисленный ответ по формуле Байеса даёт примерно 63.4%, но эти данные противоречивы сами по себе и не позволяют корректно использовать P(E) = 0.85 без поправки. Пожалуйста, уточните либо исправьте одно из чисел (особенно P(E)), чтобы задача стала согласованной.
Обсуждение
2 сообщениясоздать дерево по задаче
Давайте построим вероятностное дерево, которое помогает визуализировать данные и взаимосвязи между событиями.
Дерево вероятностей
Первый уровень: Ученики, которые сдали тест по истории (H) и не сдали его (¬H).
- P(H) = 0.70
- P(¬H) = 0.30
Второй уровень: Среди учащихся, которые сдали тест по истории, делим на тех, кто сдал тест по английскому (E) и тех, кто не сдал (¬E).
- Из 70% сдавших историю:
- P(E | H) = 0.77 (77% сдали английский)
- P(¬E | H) = 1 - P(E | H) = 0.23 (23% не сдали английский)
- Из 70% сдавших историю:
Третий уровень: Среди учащихся, которые не сдали тест по истории:
- Поскольку нет данных о том, как вел себя этот сегмент, мы не можем их точно разделить.
- Пусть P(E | ¬H) обозначает вероятность, что учащийся сдал английский, если он не сдал историю, то P(E | ¬H) может быть любой, но это не ограничивает.
Дерево будет выглядеть следующим образом:
__________ H (сдал историю, P(H)=0.70)__________
| |
| |
E (сдал англ., P(E|H)=0.77) ¬E (не сдал англ., P(¬E|H)=0.23)
| |
| |
P(H ∩ E) = 0.70 * 0.77 = 0.539 P(H ∩ ¬E) = 0.70 * 0.23 = 0.161
|
|
|
__________ ¬H (не сдал историю, P(¬H)=0.30)___________
| |
| |
E (сдал англ., P(E|¬H)) ¬E (не сдал англ., P(¬E|¬H))
| |
| |
P(¬H ∩ E) = P(¬H) * P(E|¬H) P(¬H ∩ ¬E) = P(¬H) * P(¬E|¬H)
Итоговые вероятности:
Для сданных тестов:
- P(H ∩ E) = 0.70 * 0.77 = 0.539 (ученики, сдавшие и ту, и другую дисциплину).
- P(H ∩ ¬E) = 0.70 * 0.23 = 0.161 (ученики, сдавшие только историю).
Про вторую ветвь (для тех, кто не сдал историю) рассчитывается по аналогии, но без конкретного значения P(E | ¬H), поскольку оно неизвестно.
Важный вывод:
- P(E) = P(H ∩ E) + P(¬H ∩ E) → 0.539 + P(¬H ∩ E) = 0.85.
Также помним: для получения P(H | E) воспользуемся формулой Байеса: \[ P(H | E) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)} \] где P(E) будет составляться из ветвей дерева.
Вывод: можно визуализировать данную структуру, чтобы повысить наглядность вероятностей тестов и помогать в дальнейших расчетах.
