В треугольнике MNK проведена медиана NP. Известно, что 2NP = MN и угол MNP = 50°. Найдите угол MNK. Ответ дайте в градусах.
Решение
Обозначим стороны треугольника MNK так: MN = a, NK = b, MK = c. Положим P — середина MK, то NP — медиана к стороне MK.
- Связь длины медианы с сторонами треугольника MNK m_N^2 = (2a^2 + 2b^2 − c^2)/4, где m_N = NP.
Дано: 2NP = MN, значит NP = a/2, следовательно NP^2 = a^2/4. Тогда a^2/4 = (2a^2 + 2b^2 − c^2)/4 → c^2 = a^2 + 2b^2. (Уравнение 1)
- По задаче: угол MNP = 50° и NP = a/2 В треугольнике MNP по теореме косинусов: MP^2 = MN^2 + NP^2 − 2·MN·NP·cos(50°) = a^2 + (a/2)^2 − 2·a·(a/2)·cos(50°) = (5/4)a^2 − a^2 cos(50°).
Так как P — середина MK, MP = MK/2 = c/2, значит MP^2 = c^2/4. Тогда c^2/4 = (5/4 − cos 50°) a^2 → c^2 = a^2(5 − 4 cos 50°). (Уравнение 2)
Соединяем уравнения 1 и 2 a^2 + 2b^2 = a^2(5 − 4 cos 50°) → 2b^2 = a^2(4 − 4 cos 50°) → (b/a)^2 = 2(1 − cos 50°) = 4 sin^2(25°). Значит b/a = 2 sin 25°.
Найдём угол ∠MNK В треугольнике MNK: cos ∠MNK = (MN^2 + NK^2 − MK^2) / (2·MN·NK) = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab).
По уравнению 1: c^2 = a^2 + 2b^2, значит a^2 + b^2 − c^2 = a^2 + b^2 − (a^2 + 2b^2) = −b^2. Тогда cos ∠MNK = −b^2 / (2ab) = −b/(2a) = −(1/2)(b/a).
Подставим b/a = 2 sin 25°: cos ∠MNK = −(1/2)·(2 sin 25°) = − sin 25°.
Следовательно, ∠MNK = arccos(− sin 25°) = 180° − 65° = 115°, потому что sin 25° = cos 65°.
Ответ: 115°.
