Решите уравнение cos²3x+7tg3x=1-2sin6x

Решение задачи: cos²(3x) + 7tg(3x) = 1 − 2sin(6x) Цель: понять и получить полный разбор. 1) Обозначения и домен - Пусть θ = 3x. Тогда задача пересекается с тригонометрией по θ. - Тангенс определён тогда и только тогда, когда cos θ ≠ 0. Следовательно, cos(3x) ≠ 0; эти значения исключаем из области определения. 2) Приведение к числителям без дробей - sin(6x) = sin(2·3x) = 2 sin(3x) cos(3x). - Правая часть: 1 − 2 sin(6x) = 1 − 4 sin(3x) cos(3x). - Обозначим t = tan(3x) = sin(3x)/cos(3x). Тогда sin(3x) = t cos(3x). - Умножим исходное уравнение на cos(3x) (поскольку cos(3x) ≠ 0 по домену): (cos²(3x) + 7 tan(3x)) cos(3x) = (1 − 2 sin(6x)) cos(3x). - Левую часть упрощаем: cos²(3x)·cos(3x) + 7 tan(3x)·cos(3x) = cos³(3x) + 7 sin(3x). - Правую часть упрощаем с использованием sin(6x) = 2 sin(3x) cos(3x): (1 − 2 sin(6x)) cos(3x) = cos(3x) − 2·(2 sin(3x) cos(3x))·cos(3x) = cos(3x) − 4 sin(3x) cos²(3x). - В результате получаем уравнение: cos³(3x) + 7 sin(3x) = cos(3x) − 4 sin(3x) cos²(3x). 3) Перевод к переменной t - Подставим s = sin(3x), c = cos(3x), и t = tan(3x) = s/c. - Тогда s = t c, и cos(3x) ≠ 0 значит c ≠ 0. - Преобразуем уравнение: c³ + 7 s = c − 4 s c² → c³ + 7 t c = c − 4 t c³. - Перенесём все в правую сторону и учтём общий множитель c: c³ + 7 t c − c + 4 t c³ = 0 → c ( c² + 7 t + 4 t c² − 1 ) = 0. - Поскольку c ≠ 0 по домену, делим на c: c² (1 + 4 t) + 7 t − 1 = 0. - Используем связь c² = 1/(1 + t²) (из s² + c² = 1 и t = s/c): (1/(1 + t²))(1 + 4 t) + 7 t − 1 = 0. - Умножим на (1 + t²): (1 + 4 t) + (7 t − 1)(1 + t²) = 0 = 1 + 4t + 7t − 1 + 7 t³ − t² = 7 t³ − t² + 11 t = 0. - Факторируем: t (7 t² − t + 11) = 0. - Корень квадратичного множителя даёт дискриминант D = (-1)² − 4·7·11 = 1 − 308 = −307 < 0, значит вещественных корней нет. - Единственный вещественный корень: t = 0. 4) Возврат к x - t = tan(3x) = 0 → 3x = kπ, где k ∈ Z. - Значит x = kπ/3, k ∈ Z. 5) Проверка домена - Эти значения удовлетворяют cos(3x) ≠ 0, поэтому исходное уравнение определено. Пример: x = 0 → LHS = cos²0 + 7·tan0 = 1 + 0 = 1, RHS = 1 − 2 sin0 = 1. Ответ: all real solutions: x = kπ/3, где k ∈ Z.