отрезок AB и CD диаметры окружности.Докажите что хорды BD и AC равны

Задача: на окружности AB и CD — диаметры. Доказать, что хорды BD и AC равны.

Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Так как AB и CD — диаметры, выполняется OA = OB = OC = OD = R, и A и B противоположны друг другу, как и C и D.

1. Связь длины хорды с центральным углом Длина хорды XY в окружности радиуса R равна 2R sin(∠XOY/2), где ∠XOY — центральный угол, который отверзается дугой XY. Это следует из равнобедренной треугольной фигуры XOY (OX = OY = R) и разложения треугольника по высоте к XO.

2. Сравнение центральных углов BD и AC Рассмотрим центральные углы ∠BOD и ∠AOC. Так как OB противотходится OA и OD противотходится OC (радиусы к противоположным концам диаметров), угол между OB и OD равен углу между OA и OC. То есть ∠BOD = ∠AOC.

3. Применение формулы длины хорды BD = 2R sin(∠BOD/2) AC = 2R sin(∠AOC/2)

Так как ∠BOD = ∠AOC, получаем BD = AC.

Вывод: хорды BD и AC равны. Это следует из того, что хорды, соответствующие равным центральным углам, равны по длине.