Отрезок AB и CD диаметры окружности.Докажите что хорды BD и AC равны

Задача: на окружности AB и CD — диаметры. Доказать, что хорды BD и AC равны. Пусть O — центр окружности, R — её радиус. Так как AB и CD — диаметры, выполняется OA = OB = OC = OD = R, и A и B противоположны друг другу, как и C и D. 1) Связь длины хорды с центральным углом Длина хорды XY в окружности радиуса R равна 2R sin(∠XOY/2), где ∠XOY — центральный угол, который отверзается дугой XY. Это следует из равнобедренной треугольной фигуры XOY (OX = OY = R) и разложения треугольника по высоте к XO. 2) Сравнение центральных углов BD и AC Рассмотрим центральные углы ∠BOD и ∠AOC. Так как OB противотходится OA и OD противотходится OC (радиусы к противоположным концам диаметров), угол между OB и OD равен углу между OA и OC. То есть ∠BOD = ∠AOC. 3) Применение формулы длины хорды BD = 2R sin(∠BOD/2) AC = 2R sin(∠AOC/2) Так как ∠BOD = ∠AOC, получаем BD = AC. Вывод: хорды BD и AC равны. Это следует из того, что хорды, соответствующие равным центральным углам, равны по длине.