Площадь боковой поверхности полной пирамиды SABC равна 48 см2, К - середина ребра. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. S высота . АВС основание
Решение (предположим, что плоскость среза параллельна основаниям и проходит через середину каждого ребра PA, PB, PC, т. е. через середины боковых ребер; K — середина одного из боковых ребер).
Обозначим вершину пирамиды P, основание ABC (трёхугольник). Полная боковая поверхность пирамиды равна S_full = S_SABC = 48 см².
Плоскость среза через середины боковых ребер параллельна основанию. Это делит пирамиду на верхнюю меньшую пирамиду и нижний усечённый конус-пирамиду (frustum). Так как срез параллелен основанию, новая верхняя пирамида подобна полной пирамиде с линейным коэффициентом k = 1/2 (поскольку точки пересечения на боковых ребрах — середины, т.е. на половине высоты от вершины).
Площадь боковой поверхности подобной пирамиды масштабируется как квадрат линейного коэффициента. Значит боковая поверхность верхней, меньшей пирамиды имеет площадь: S_top = k^2 * S_full = (1/2)^2 * 48 = 1/4 * 48 = 12 cm².
Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна разности боковых площадей полной пирамиды и верхней маленькой пирамиды: S_frustum = S_full - S_top = 48 - 12 = 36 cm².
Ответ: 36 см².
