Y =x+15x²-x³

Задача: y = x + 15x^2 - x^3. Цель — понять, поэтому разберём по шагам все основные свойства этой функции. 1) Приведение к удобному виду и анализ конца графика - Запишем как y(x) = -x^3 + 15x^2 + x. - Поведение при больших |x|: при x → -∞, y → +∞; при x → +∞, y → -∞ (ведущая степень –3 и знак минус). Значит график идёт вверх слева и вниз справа. 2) Пересечения с осями (x- и y-пересечения) - y-пересечение (при x = 0): y(0) = 0, значит точка (0, 0). - x-пересечения (решаем y = 0): y = x(-x^2 + 15x + 1) = 0. Значит либо x = 0, либо -x^2 + 15x + 1 = 0, т.е. x^2 - 15x - 1 = 0. Корни квадратичного уравнения: x = [15 ± sqrt(15^2 + 4)]/2 = (15 ± sqrt(229))/2. Оценочно: sqrt(229) ≈ 15.1327, следовательно x ≈ -0.06637 и x ≈ 15.06637. - Итак, график пересекает ось Ox в x ≈ -0.066, 0, 15.066. 3) Производная и стационарные точки - Найдём производную: y' = d/dx(-x^3 + 15x^2 + x) = -3x^2 + 30x + 1. - Найдём критические точки из y' = 0: -3x^2 + 30x + 1 = 0 → 3x^2 - 30x - 1 = 0. x = [30 ± sqrt(30^2 + 4·3·1)] / (2·3) = [30 ± sqrt(912)] / 6. Так как sqrt(912) = 4 sqrt(57), можно записать: x = (30 ± 4 sqrt(57)) / 6 = (15 ± 2 sqrt(57)) / 3. Приближённо: - x1 ≈ (15 - 2·7.5498)/3 ≈ (15 - 15.0996)/3 ≈ -0.0332, - x2 ≈ (15 + 15.0996)/3 ≈ 10.0332. 4) Тип стационарных точек (классификация) - Вторая производная: y'' = d/dx(-3x^2 + 30x + 1) = -6x + 30. - При x1 ≈ -0.0332: y''(x1) ≈ -6(-0.0332) + 30 ≈ 0.199 + 30 > 0 → локальный минимум. - При x2 ≈ 10.0332: y''(x2) ≈ -6·10.0332 + 30 ≈ -60.199 + 30 < 0 → локальный максимум. 5) Значения функций в критических точках - y(x1) ≈ y(-0.0332) ≈ -0.0166 (мало отрицательное значение, локальный минимум near 0). - y(x2) ≈ y(10.0332) ≈ 510.0 (локальный максимум около 510). 6) Интервалы возрастания/убывания - Знак y' определяет поведение: - Для x < x1: взять, например, x = -1 → y'(-1) = -3(1) + 30(-1) + 1 = -32 < 0, значит убывание. - Для x1 < x < x2: взять x = 0 → y'(0) = 1 > 0, значит возрастание. - Для x > x2: взять x = 11 → y'(11) = -3·121 + 330 + 1 = -363 + 331 = -32 < 0, значит убывание. - Итак: график убывает на (-∞, x1), возрастает на (x1, x2), затем убывает на (x2, ∞). 7) Короткий вывод по характеристикам - Функция y = -x^3 + 15x^2 + x — кубическая с отрицательным коэффициентом при x^3. - У неё три x-пересечения: близки к -0.066, 0 и 15.066. - Есть два стационарных момента: локальный минимум около x ≈ -0.033 с y ≈ -0.0166 и локальный максимум около x ≈ 10.033 с y ≈ 510. - График идёт ↗ между точками минимума и максимума, снижается слева и справа от соответствующих точек. Если хочешь, могу: - построить точный график или привести дополнительные цифры (например, точные значения y на критических точках), - разобрать график более детально (интервалы возрастания/убывания и знаки производной на разных участках), - решить конкретное задание по этой функции (нахождение экстремумов, осей симметрии для приведённого вида и т.д.).