y =x+15x²-x³

Задача: y = x + 15x^2 - x^3. Цель — понять, поэтому разберём по шагам все основные свойства этой функции.

1. Приведение к удобному виду и анализ конца графика

• Запишем как y(x) = -x^3 + 15x^2 + x.
• Поведение при больших |x|: при x → -∞, y → +∞; при x → +∞, y → -∞ (ведущая степень –3 и знак минус). Значит график идёт вверх слева и вниз справа.

2. Пересечения с осями (x- и y-пересечения)

• y-пересечение (при x = 0): y(0) = 0, значит точка (0, 0).
• x-пересечения (решаем y = 0): y = x(-x^2 + 15x + 1) = 0. Значит либо x = 0, либо -x^2 + 15x + 1 = 0, т.е. x^2 - 15x - 1 = 0. Корни квадратичного уравнения: x = [15 ± sqrt(15^2 + 4)]/2 = (15 ± sqrt(229))/2. Оценочно: sqrt(229) ≈ 15.1327, следовательно x ≈ -0.06637 и x ≈ 15.06637.
• Итак, график пересекает ось Ox в x ≈ -0.066, 0, 15.066.

3. Производная и стационарные точки

• Найдём производную: y' = d/dx(-x^3 + 15x^2 + x) = -3x^2 + 30x + 1.
• Найдём критические точки из y' = 0: -3x^2 + 30x + 1 = 0 → 3x^2 - 30x - 1 = 0. x = [30 ± sqrt(30^2 + 4·3·1)] / (2·3) = [30 ± sqrt(912)] / 6. Так как sqrt(912) = 4 sqrt(57), можно записать: x = (30 ± 4 sqrt(57)) / 6 = (15 ± 2 sqrt(57)) / 3. Приближённо:
  • x1 ≈ (15 - 2·7.5498)/3 ≈ (15 - 15.0996)/3 ≈ -0.0332,
  • x2 ≈ (15 + 15.0996)/3 ≈ 10.0332.

4. Тип стационарных точек (классификация)

• Вторая производная: y'' = d/dx(-3x^2 + 30x + 1) = -6x + 30.
• При x1 ≈ -0.0332: y''(x1) ≈ -6(-0.0332) + 30 ≈ 0.199 + 30 > 0 → локальный минимум.
• При x2 ≈ 10.0332: y''(x2) ≈ -6·10.0332 + 30 ≈ -60.199 + 30 < 0 → локальный максимум.

5. Значения функций в критических точках

• y(x1) ≈ y(-0.0332) ≈ -0.0166 (мало отрицательное значение, локальный минимум near 0).
• y(x2) ≈ y(10.0332) ≈ 510.0 (локальный максимум около 510).

6. Интервалы возрастания/убывания

• Знак y' определяет поведение:
  • Для x < x1: взять, например, x = -1 → y'(-1) = -3(1) + 30(-1) + 1 = -32 < 0, значит убывание.
  • Для x1 < x < x2: взять x = 0 → y'(0) = 1 > 0, значит возрастание.
  • Для x > x2: взять x = 11 → y'(11) = -3·121 + 330 + 1 = -363 + 331 = -32 < 0, значит убывание.
• Итак: график убывает на (-∞, x1), возрастает на (x1, x2), затем убывает на (x2, ∞).

7. Короткий вывод по характеристикам

• Функция y = -x^3 + 15x^2 + x — кубическая с отрицательным коэффициентом при x^3.
• У неё три x-пересечения: близки к -0.066, 0 и 15.066.
• Есть два стационарных момента: локальный минимум около x ≈ -0.033 с y ≈ -0.0166 и локальный максимум около x ≈ 10.033 с y ≈ 510.
• График идёт ↗ между точками минимума и максимума, снижается слева и справа от соответствующих точек.

Если хочешь, могу:

• построить точный график или привести дополнительные цифры (например, точные значения y на критических точках),
• разобрать график более детально (интервалы возрастания/убывания и знаки производной на разных участках),
• решить конкретное задание по этой функции (нахождение экстремумов, осей симметрии для приведённого вида и т.д.).