Задача Задача №3536423
А
А
На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC…
Запрос пользователя
На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 7, MB = 10, AN = 5 и NC = 9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 68.
Решение по шагам.
Даны: AM = 7, MB = 10, AN = 5, NC = 9, площадь ABC = 68.
- Найдём стороны AB и AC треугольника ABC:
- AB = AM + MB = 7 + 10 = 17
- AC = AN + NC = 5 + 9 = 14
- Выразим площади через синус угла при A. Пусть угол между AB и AC равен ∠A.
- Площадь ABC: S(ABC) = 1/2 · AB · AC · sin(∠A)
- Площадь AMN: S(AMN) = 1/2 · AM · AN · sin(∠A)
Соотношение площадей: S(AMN) / S(ABC) = (AM · AN) / (AB · AC)
Подставим числовые значения: AM/AB = 7/17, AN/AC = 5/14, поэтому S(AMN) = S(ABC) · (AM/AB) · (AN/AC) = 68 · (7/17) · (5/14) = 68 · 35 / 238 = 68 · (5/34) = 10
Ответ: площадь треугольника AMN равна 10.
