На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM  =  7, MB  =  10, AN  =  5 и NC  =  9. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 68.

Решение по шагам. Даны: AM = 7, MB = 10, AN = 5, NC = 9, площадь ABC = 68. 1) Найдём стороны AB и AC треугольника ABC: - AB = AM + MB = 7 + 10 = 17 - AC = AN + NC = 5 + 9 = 14 2) Выразим площади через синус угла при A. Пусть угол между AB и AC равен ∠A. - Площадь ABC: S(ABC) = 1/2 · AB · AC · sin(∠A) - Площадь AMN: S(AMN) = 1/2 · AM · AN · sin(∠A) 3) Соотношение площадей: S(AMN) / S(ABC) = (AM · AN) / (AB · AC) 4) Подставим числовые значения: AM/AB = 7/17, AN/AC = 5/14, поэтому S(AMN) = S(ABC) · (AM/AB) · (AN/AC) = 68 · (7/17) · (5/14) = 68 · 35 / 238 = 68 · (5/34) = 10 Ответ: площадь треугольника AMN равна 10.