система: 1/x+1/y=5 1/x²+1/y²=13

Задача решается через замену переменных.

1. Обозначим:

• a = 1/x
• b = 1/y

Тогда система становится:

• a + b = 5
• a^2 + b^2 = 13

2. Найдём ab. Используем тождество: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Подставляем данные: 25 = 13 + 2ab ⇒ 2ab = 12 ⇒ ab = 6

3. Числа a и b являются корнями квадратного уравнения: t^2 − (a + b)t + ab = 0 ⇒ t^2 − 5t + 6 = 0

Решение: (t − 2)(t − 3) = 0 ⇒ t = 2 или t = 3

Отсюда {a, b} = {2, 3}. То есть 1/x и 1/y равны 2 и 3 в произвольном порядке.

4. Возвращаемся к x и y:

• если a = 2, b = 3 ⇒ x = 1/2, y = 1/3
• если a = 3, b = 2 ⇒ x = 1/3, y = 1/2

Проверка (быстрая):

• для (x, y) = (1/2, 1/3): 1/x + 1/y = 2 + 3 = 5; 1/x^2 + 1/y^2 = 4 + 9 = 13
• для (x, y) = (1/3, 1/2): аналогично верно

Ответ: (x, y) = (1/2, 1/3) или (1/3, 1/2).