(1+ctg2a)sin2a

Разберём подробно.

Задача: (1 + ctg(2a)) · sin(2a)

1. Приведём cot к соотношению через синус и косинус: ctg(2a) = cos(2a) / sin(2a)

2. Подставим в выражение: (1 + cos(2a)/sin(2a)) · sin(2a) = sin(2a) + cos(2a)

Важно: cot(2a) определён тогда и только тогда, когда sin(2a) ≠ 0. Следовательно, разумная область определения задачи — sin(2a) ≠ 0 (то есть 2a ≠ kπ, где k — целое).

3. Приведём сумму синуса и косинуса к единому тригонометрическому выражению: sin(x) + cos(x) = √2 · sin(x + π/4)

Здесь x = 2a. Значит: sin(2a) + cos(2a) = √2 · sin(2a + π/4)

Иными словами, исходное выражение равно: (1 + ctg(2a)) · sin(2a) = sin(2a) + cos(2a) = √2 · sin(2a + π/4)

Альтернативно можно записать как: √2 · cos(2a − π/4)

4. Дополнительная полезная информация:

• Пределы: диапазон значений sin(2a) + cos(2a) лежит в [-√2, √2], потому что амплитуда √2.
• Максимум достигается, например, когда 2a = π/4 + 2kπ, что даёт √2; минимум — когда 2a = 5π/4 + 2kπ, что даёт -√2.
• Пример проверки: пусть a = π/8. Тогда 2a = π/4, ctg(π/4) = 1, выражение = (1 + 1) · sin(π/4) = 2 · √2/2 = √2. По формуле √2 · sin(π/4 + π/4) тоже даёт √2 · sin(π/2) = √2.

Ответ: (1 + ctg(2a)) sin(2a) = sin(2a) + cos(2a) = √2 · sin(2a + π/4) (для синуса(2a) ≠ 0).