Игральный кубик бросают до тех пор, пока шестерка не выпадет два раза, не обязательно подряд. Найдите математическое ожидание случайной величины «число сделанных бросков».

Задача: игральный кубик (предположим, честный) бросают до тех пор, пока шестерка выпадет два раза (не обязательно подряд). Найдите математическое ожидание числа сделанных бросков. Пошаговое решение 1) Введение понятия - Пусть p = вероятность выпадения шестерки за один бросок. Для честного кубика p = 1/6. - Пусть X1 — число бросков до первого появления шестерки (включая сам бросок с шестеркой). X1 имеет геометрическое распределение с параметрами p. - Пусть X2 — число дополнительных бросков после первого появления шестерки до появления второй шестерки (включая сам бросок, на котором выпадет вторая шестерка). По памяти и независимости X2 тоже геометрическое с параметрами p. - Общее число бросков N = X1 + X2. 2) Математическая часть - Математическое ожидание геометрического распределения (число попыток до первого успеха, включая успех) равно E[X] = 1/p. - Значит, E[X1] = 1/p = 1/(1/6) = 6. - Аналогично, после первого успеха процесс “ожидания” второго успеха начинается заново, поэтому E[X2] = 6. 3) Итог - Так как N = X1 + X2 и X1, X2 независимы (инвариантность по времени между появлениями шестерок сохраняется), то E[N] = E[X1] + E[X2] = 6 + 6 = 12. 4) Альтернатива (кратко) - Это распределение числа бросков до достижения 2-го успеха — биномиальное распределение с отрицательной (negative binomial) формой NB(r=2, p=1/6). Its математическое ожидание равно E[N] = r/p = 2/(1/6) = 12. Ответ: математическое ожидание числа сделанных бросков равно 12.