Игральный кубик бросают до тех пор, пока шестерка не выпадет два раза, не обязательно подряд. Найдите математическое ожидание случайной величины «число сделанных бросков».

Задача: игральный кубик (предположим, честный) бросают до тех пор, пока шестерка выпадет два раза (не обязательно подряд). Найдите математическое ожидание числа сделанных бросков.

Пошаговое решение

1. Введение понятия

• Пусть p = вероятность выпадения шестерки за один бросок. Для честного кубика p = 1/6.
• Пусть X1 — число бросков до первого появления шестерки (включая сам бросок с шестеркой). X1 имеет геометрическое распределение с параметрами p.
• Пусть X2 — число дополнительных бросков после первого появления шестерки до появления второй шестерки (включая сам бросок, на котором выпадет вторая шестерка). По памяти и независимости X2 тоже геометрическое с параметрами p.
• Общее число бросков N = X1 + X2.

2. Математическая часть

• Математическое ожидание геометрического распределения (число попыток до первого успеха, включая успех) равно E[X] = 1/p.
• Значит, E[X1] = 1/p = 1/(1/6) = 6.
• Аналогично, после первого успеха процесс “ожидания” второго успеха начинается заново, поэтому E[X2] = 6.

3. Итог

• Так как N = X1 + X2 и X1, X2 независимы (инвариантность по времени между появлениями шестерок сохраняется), то E[N] = E[X1] + E[X2] = 6 + 6 = 12.

4. Альтернатива (кратко)

• Это распределение числа бросков до достижения 2-го успеха — биномиальное распределение с отрицательной (negative binomial) формой NB(r=2, p=1/6). Its математическое ожидание равно E[N] = r/p = 2/(1/6) = 12.

Ответ: математическое ожидание числа сделанных бросков равно 12.