Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Точка О - середина отрезка АВ.Докажите, что любой другой отрезок с концами на прямых а и b, проходящий через точку О, делится ею пополам

Ниже даю детальное решение с пояснениями. Цель задачи: доказать, что если концы A на прямой a и B на прямой b лежат на двух параллельных прямых, O — середина AB, то любая другая пара отрезка XY с концами на a и b, проходящая через O, делится этим же пунктом O пополам. 1) Координатное решение (пошагово) - Пусть прямые a и b параллельны и положим удобную систему координат: a — горизонтальная прямая y = 0, b — горизонтальная прямая y = h (h ≠ 0). Тогда A = (x_A, 0), B = (x_B, h). Середина AB имеет координаты O = ((x_A + x_B)/2, h/2). - Пусть любая другая прямая XY проходит через O и пересекает a в X, а b в Y. Пусть наклон этой прямой равен k. Тогда уравнение XY задаётся как: y - h/2 = k (x - (x_A + x_B)/2). - Найдём X при пересечении с y = 0: 0 - h/2 = k (x_X - (x_A + x_B)/2) → x_X = (x_A + x_B)/2 - (h/2)/k. Таким образом, вектор OX = X - O имеет координаты: OX = ( x_X - (x_A + x_B)/2 , 0 - h/2 ) = ( - (h/2)/k , - h/2 ). Длину OX рассчитаем так: |OX| = sqrt( ( (h/2)/k )^2 + (h/2)^2 ) = (h/2) sqrt( 1/k^2 + 1 ). - Найдём Y при пересечении с y = h: h - h/2 = k (x_Y - (x_A + x_B)/2) → x_Y = (x_A + x_B)/2 + (h/2)/k. Следовательно, вектор OY = Y - O имеет координаты: OY = ( (h/2)/k , h/2 ). Длину OY найдём аналогично: |OY| = sqrt( ( (h/2)/k )^2 + (h/2)^2 ) = (h/2) sqrt( 1/k^2 + 1 ). - Получили одинаковые значения длин OX и OY независимо от k (наклон XY). Значит OX = OY, то есть O является серединой отрезка XY. - Вывод: для любой прямой XY, проходящей через O и с концами X ∈ a и Y ∈ b, точка O делит XY пополам. 2) Альтернативный векторный краткий подход (интуитивно к тому же факту) - Пусть XY — прямая через O с направлением вектор v = (p, q). Пусть расстояние по оси y между параллельными линиями a и b равно h, и координаты O по y равны h/2. - По вертикали от O до a разница в y составляет -h/2, до b — +h/2. Пусть t1 и t2 — параметры движения вдоль прямой от O до X и до Y соответственно. Тогда: t1 q = -h/2 и t2 q = +h/2 (потому что изменение y равно -h/2 и +h/2). Отсюда |t1| = |t2| = (h/2)/|q|. - Длины OX и OY равны |t1| · |v| и |t2| · |v| соответственно, поэтому OX = OY. Следовательно O — середина XY. 3) Вывод - Независимо от выбора конкретных точек A ∈ a и B ∈ b (и от наклона линии XY), если O — середина AB и a ∥ b, то любая прямая XY, проходящая через O и пересекающая a и b в X и Y, удовлетворяет OX = OY. Значит O делит XY пополам. Если нужно, могу привести аналогичный разбор с графическим иллюстративным пояснением или привести краткую синтетическую запись без координат.