На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…
На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD. Точки K K, L L, M M, N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику L M N LMN.
Задача: прямоугольник ABCD (со сторонами a и b). Точки K, L, M, N — середины его сторон: K на AB, L на BC, M на CD, N на DA. Найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет принадлежать треугольнику LMN.
Ниже пошаговое решение.
- Установим координаты
- Пусть A = (0, 0), B = (a, 0), C = (a, b), D = (0, b).
- Тогда площади прямоугольника ABCD равна S_ABCD = a·b.
- Координаты середин:
- L — середина BC: L = (a, b/2)
- M — середина CD: M = (a/2, b)
- N — середина DA: N = (0, b/2)
- Свойства треугольника LMN
- Точка L и N имеют одинаковую ординату b/2, значит LN — горизонтальная сторона треугольника LMN и ее длина равна расстоянию между x = 0 и x = a, то есть LN = a.
- Точка M имеет ординату b, то есть находится на уровне выше LN на расстояние b − b/2 = b/2.
- Опускаем перпендикуляр из M на основание LN; высота треугольника LMN равна h = b/2.
Площадь треугольника LMN Площадь LMN равна: S_LMN = 1/2 · (основание LN) · (высота) = 1/2 · a · (b/2) = a·b/4.
Вероятность Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит треугольнику LMN, равна отношению площадей: P = S_LMN / S_ABCD = (ab/4) / (ab) = 1/4.
Ответ: 1/4 (или 0.25).
