Давайте разберем задачу по шагам. **Дано:** - Размер выборки: \( n = 50 \) - Исправленное среднее квадратическое отклонение выборки: \( S = 14 \) - Надежность: 0,999 - Цель: найти…
Давайте разберем задачу по шагам. **Дано:** - Размер выборки: \( n = 50 \) - Исправленное среднее квадратическое отклонение выборки: \( S = 14 \) - Надежность: 0,999 - Цель: найти доверительный интервал, который покрывает истинное среднее квадратическое отклонение \(\sigma\). --- ### Шаг 1. Понимание задачи Нам нужно построить доверительный интервал для **параметра** \(\sigma\) — генерального среднеквадратического отклонения. В статистике такие интервалы строятся с использованием распределения \(\chi^2\) (хи-квадрат). **Важно:** поскольку у нас есть выборочное среднее квадратическое отклонение \(S\), которое является несмещенной оценкой \(\sigma\), и разделение выборки по независимым наблюдениям. --- ### Шаг 2. Формула доверительного интервала для \(\sigma\) Доверительный интервал для \( \sigma \) при условии, что данные нормально распределены, задается формулой: \[ \left( S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}}},\quad S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}}} \right) \] где: - \( \chi^2_{p,\, n-1} \) — квантиль распределения \(\chi^2\) с \( n-1 \) степенями свободы на уровне \( p \), - \( \alpha = 1 - \text{уровень доверия} \), - у нас уровень доверия \( 0,999 \Rightarrow \alpha = 0,001 \). --- ### Шаг 3. Находим квантиль \(\chi^2\) Для доверительного интервала с уровнем доверия 0,999: - \( \alpha/2 = 0,0005 \) - \( 1 - \alpha/2 = 0,9995 \) Нам нужны два значения: - \(\chi^2_{0,0005,\, 49}\) — левый квантиль, - \(\chi^2_{0,9995,\, 49}\) — правый квантиль. Обращаясь к таблице \(\chi^2\) (или используя калькулятор): - \(\chi^2_{0,0005,\, 49} \approx 17.27\), - \(\chi^2_{0,9995,\, 49} \approx 83.30\). --- ### Шаг 4. Расчет доверительного интервала Подставляем в формулу: \[ \text{нижняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.9995,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{83.30}} \] \[ \text{верхняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.0005,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{17.27}} \] Рассчитаем: 1. Нижняя граница: \[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{83.30}} \approx 14 \times \sqrt{0.600} \approx 14 \times 0.775 = 10.85 \] 2. Верхняя граница: \[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{17.27}} \approx 14 \times \sqrt{2.894} \approx 14 \times 1.703 = 23.84 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ (10.85,\; 23.84) } \] Это доверительный интервал с надежностью 0,999, в котором с большой вероятностью содержится истинное среднеквадратическое отклонение \(\sigma\).
Ниже приводится подробное решение задачи по шагам, с учётом того, что цель — найти доверительный интервал для истинного среднеквадратического отклонения σ при нормальном распределении данных.
Итого данные:
- n = 50
- S = 14 (исправленное среднеквадратическое отклонение выборки, то есть корень из несмещённой оценки дисперсии: s^2 = S^2)
- Уровень доверия = 0,999 (α = 1 - 0,999 = 0,001)
- Мы хотим доверительный интервал для σ
Шаг 1. Теоретическая база Для нормально распределённых данных статистика (n−1) s^2 / σ^2 имеет распределение χ^2 с n−1 степенями свободы. Следовательно, P( χ^2_{α/2, n-1} ≤ (n−1) s^2 / σ^2 ≤ χ^2_{1−α/2, n-1} ) = 1 − α.
Из этого следует интервал для σ^2: ( (n−1) s^2 ) / χ^2_{1−α/2, n−1} ≤ σ^2 ≤ ( (n−1) s^2 ) / χ^2_{α/2, n−1}.
И соответственно для σ: sqrt( (n−1) s^2 / χ^2_{1−α/2, n−1} ) ≤ σ ≤ sqrt( (n−1) s^2 / χ^2_{α/2, n−1} ).
Примечание: в ваших формулах использовано n в числителе, но корректнее использовать (n−1) при s^2, полученном как дисперсия с делителем (n−1).
Шаг 2. Подстановка чисел
- df = n−1 = 49
- s^2 = S^2 = 14^2 = 196
- (n−1) s^2 = 49 × 196 = 9604
- α/2 = 0,0005 и 1−α/2 = 0,9995
Квантиль χ^2_{0.0005,49} ≈ 17.27 Квантиль χ^2_{0.9995,49} ≈ 83.30
Шаг 3. Расчёт доверительного интервала
Нижняя граница σ_min: sqrt( (n−1) s^2 / χ^2_{1−α/2, n−1} ) = sqrt( 9604 / 83.30 ) ≈ sqrt(115.3) ≈ 10.74
Верхняя граница σ_max: sqrt( (n−1) s^2 / χ^2_{α/2, n−1} ) = sqrt( 9604 / 17.27 ) ≈ sqrt(556.3) ≈ 23.59
Итак, получаем примерно: σ ∈ (10.74, 23.59)
Примечание по альтернативной формуле: Если использовать более простой вариант, аналогичный вашему черновику (некоторыми источниками записывают с n вместо n−1), получались близкие значения:
- нижняя граница ≈ 10.85
- верхняя граница ≈ 23.84
Разница пропорциональна √(n/(n−1)) ≈ √(50/49) ≈ 1.010, то есть около 1% различия. Но строго корректнее использовать (n−1) и s^2 с делителем n−1.
Шаг 4. Итог При условии нормальности данных и уровня доверия 0,999 доверительный интервал для истинного среднеквадратического отклонения σ составляет примерно: (10.74, 23.59)
Если хотите, можно привести числа с другим уровнем доверия (например, 0,95) и показать как изменяются квантиль и интервал. Также стоит помнить, что корректность интервала зависит от нормальности исходных данных.
