Дан прямоугольник M N K L MNKL , диагонали которого пересекаются в точке с координатами ( − 2 ; 1 ) (−2;1) , а вершина N N имеет координаты ( − 5 ; 3 ) (−5;3) . Какой рисунок…
Дан прямоугольник M N K L MNKL, диагонали которого пересекаются в точке с координатами ( − 2 ; 1 ) (−2;1), а вершина N N имеет координаты ( − 5 ; 3 ) (−5;3). Какой рисунок иллюстрирует решение задачи? 221.svg1 21.svg2 20.svg3 19.svg4 M ( M( ; ; ) ), K ( K( ; ; ) ), L ( L( ; ; ) ).
Ниже подробное решение и критерий выбора рисунка.
Цель: понять.
- Что дано
- Прямоугольник MNKL, диагонали MK и NL пересекаются в точке O = (-2, 1).
- Вершина N имеет координаты N = (-5, 3).
- Найдём противоположную вершину L к N В любой прямоугольник диагонали параллелепипетно пересекаются в центре и каждая пара противоположных вершин симметрична относительно центра. Следовательно:
- L = 2O − N.
Расчёт:
- 2O = 2·(-2, 1) = (-4, 2).
- L = (-4, 2) − N = (-4, 2) − (-5, 3) = (1, -1).
Итак, L = (1, -1).
- Найдём оставшиеся вершины M и K (примерный выбор, удовлетворяющий условию прямоугольника) Пусть w = N − O = (-5, 3) − (-2, 1) = (-3, 2). Точка L уже учтена как O − w.
Для другой диагонали MK возьмём вектор v такой же длины, как и w, чтобы диагонали прямоугольника имели одинаковую длину: |v| = |w| = sqrt(13). Один из возможных вариантов: v = (2, 3).
Тогда:
- M = O + v = (-2 + 2, 1 + 3) = (0, 4).
- K = O − v = (-2 − 2, 1 − 3) = (-4, -2).
Проверим прямоугольность (проверка параллелограмма MNKL):
- MN = N − M = (-5 − 0, 3 − 4) = (-5, -1).
- NK = K − N = (-4 − (-5), -2 − 3) = (1, -5).
- MN · NK = (-5)(1) + (-1)(-5) = -5 + 5 = 0. Действительно, MN ⟂ NK, значит сторонам прямоугольник.
- Координаты вершин, который получается:
- M = (0, 4)
- N = (-5, 3)
- K = (-4, -2)
- L = (1, -1)
- Как выбрать нужную картинку среди вариантов
- Правильное изображение должно показывать:
- Диагонали MK и NL пересекаются в точке O = (-2, 1).
- Вершина N имеет координаты (-5, 3).
- Противоположная вершина к N по диагонали NL — это L = (1, -1).
- Дополнительные вершины могут быть M = (0, 4) и K = (-4, -2) (это одна из возможных реализаций прямоугольника с данными условиями; порядок вершин может варьироваться в рисунке, но принцип — диагонали NM и KL равны по длине и диагонали NL проходит через O).
Итак, выбирайте рисунок, на котором:
- диагональ NL идёт из N(-5,3) в L(1,-1) через центр O(-2,1);
- L действительно зеркально расположен относительно O по отношению к N;
- остальные вершины могут иметь координаты (0,4) и (-4,-2) для M и K (или эквивалентные, сохраняющие центр и прямоугольность).
Если не можете увидеть координаты на рисунках, ориентируйтесь на вышеуказанный центр (-2,1) и на парные противоположные вершины N(-5,3) и L(1,-1).
