На числовой прямой даны два отрезка: P=[15;40] и Q=[21;63]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение (x∈P)→(((x∈Q)∧¬(x∈A))→¬(x∈P))…

Задача сводится к анализу логического выражения для всех x на числовой прямой.

1. Обозначения

• p(x): x ∈ P, где P = [15, 40]
• q(x): x ∈ Q, где Q = [21, 63]
• r(x): x ∈ A, где A — искомый отрезок

2. Упрощение выражения Выражение E(x) равно: E(x) = p(x) → ((q(x) ∧ ¬r(x)) → ¬p(x))

Используем эквивалентности:

• α → β ≡ ¬α ∨ β
• (q ∧ ¬r) → ¬p ≡ ¬(q ∧ ¬r) ∨ ¬p ≡ (¬q ∨ r) ∨ ¬p

Тогда: E(x) ≡ ¬p(x) ∨ [(¬q(x) ∨ r(x)) ∨ ¬p(x)] E(x) ≡ ¬p(x) ∨ ¬q(x) ∨ r(x)

3. Что должно быть истинно для всех x E(x) истинно для любого x тогда, когда не возникает ситуация p(x)=1 и q(x)=1 и r(x)=0. То есть для всех x из пересечения P ∩ Q должно выполняться r(x)=1, т.е. x ∈ A.

Итак, P ∩ Q ⊆ A.

4. Найдем пересечение P и Q P = [15, 40], Q = [21, 63] ⇒ P ∩ Q = [21, 40].

Следовательно, A должен содержать [21, 40].

5. Минимальная длина A Чтобы A содержал [21, 40], минимальная длина равна длине этого отрезка: длина [21, 40] = 40 − 21 = 19.

Достижимо, например, A = [21, 40].

Ответ: Минимальная длина искомого отрезка A равна 19 (при этом A может быть любым отрезком, содержащим [21, 40], например A = [21, 40]).