Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7,5. Найдите его объём.

Задача: Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7,5. Найдите его объём.

Пояснение и решение

• Поскольку параллелепипед описан вокруг сферы, сфера касается всех его граней. Это значит, что центр сферы совпадает с центром параллелепипеда, а расстояние от центра до любой из граней по каждой оси равно радиусу сферы r.
• Обозначим размеры параллелепипеда вдоль трёх осей как a, b, c. Тогда расстояния от центра до противоположных граней равны a/2, b/2, c/2 соответственно.
• Для касания всех граней радиус сферы должен быть равен этим расстояниям: a/2 = r, b/2 = r, c/2 = r. Следовательно a = b = c = 2r. Параллелепипед получается кубом со стороной s = 2r.

Данные:

• Радиус сферы r = 7,5

Расчёт:

• Сторона куба: s = 2r = 2 × 7,5 = 15
• Объём куба: V = s^3 = 15^3 = 3375

Ответ: объём параллелепипеда равен 3375 кубических единиц.