Ниже решения обеих частей задачи.
- Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно -12. Найдите эти числа.
Обозначим меньшее число как y, большее — как x. Тогда x = y + 7 и произведение xy = -12.
Подставим: y(y + 7) = -12
y^2 + 7y + 12 = 0
Разложим квадратный трёхчлен: (y + 3)(y + 4) = 0
Y = -3 или Y = -4.
Соответственно, пары чисел:
- если y = -3, то x = 4 → числа -3 и 4;
- если y = -4, то x = 3 → числа -4 и 3.
Это те же два числа в разном порядке: -3 и 4 (или 4 и -3). Ответ: -3 и 4.
- Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен ...
Пояснение: пусть стороны прямоугольника равны a и b. Тогда диагональ d удовлетворяет d^2 = a^2 + b^2, поэтому a^2 + b^2 = 100. Периметр P = 2(a + b), значит a + b = P/2.
Если предполагаем, что в задаче дан периметр P = 28 см (частый вариант), тогда a + b = 14 и:
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab → 14^2 = 100 + 2ab → 196 = 100 + 2ab → ab = 48.
Система для a и b:
a + b = 14
ab = 48
Корни квадратного уравнения t^2 − 14t + 48 = 0 дадут t = 6 и t = 8. Значит стороны прямоугольника: 6 см и 8 см. Проверка: sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10 см, как дано. Периметр: 2(6 + 8) = 28 см, всё сходится.
Если же периметр P неизвестен и требуется общий подход, то:
- a^2 + b^2 = 100
- a + b = P/2
Из них можно выписать ab = ((P/2)^2 − 100)/2, а стороны будут корнями уравнения t^2 − (P/2)t + ab = 0. Дискриминант D = (P/2)^2 − 4ab = 200 − P^2/4. Чтобы стороны были действительными, требуется D ≥ 0, то есть P^2 ≤ 800 (P ≤ примерно 28.28). При конкретном P алгоритм даёт конкретные значения a и b.
