Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа

Задача: два последовательных натуральных числа a и b (где b = a + 1) таковы, что квадрат их суммы больше суммы их квадратов на 112. Найдите числа.

Метод 1. Прямое решение по переменной

1. Пусть числа: n и n+1, где n ∈ N.
2. По условию: (n + (n+1))^2 = n^2 + (n+1)^2 + 112.
3. Слева: (n + n + 1)^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1. Справа: n^2 + (n+1)^2 + 112 = (n^2 + n^2 + 2n + 1) + 112 = 2n^2 + 2n + 113.
4. Приравниваем и приводим подобные: 4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 113 → 2n^2 + 2n - 112 = 0 → n^2 + n - 56 = 0.
5. Дискриминант: D = 1 + 224 = 225, корень 15. n = (-1 ± 15) / 2 → n = 7 или n = -8. Поскольку n натуральное, выбираем n = 7.
6. Тогда числа: 7 и 8. Проверка: сумма = 15, квадрат суммы = 225; квадраты суммируются: 49 + 64 = 113; разница 225 − 113 = 112. Всё верно.

Метод 2. Через формулу (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

1. Пусть числа a и b, где b = a + 1.
2. По условию: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 112. Но (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab, значит 2ab = 112 → ab = 56.
3. Так как b = a + 1, имеем a(a + 1) = 56 → a^2 + a − 56 = 0.
4. Решение: (a − 7)(a + 8) = 0 → a = 7 или a = −8. Натуральное — a = 7, следовательно b = 8.
5. Проверка снабжает ту же пару: 7 и 8.

Ответ: числа 7 и 8.