Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа

Задача: два последовательных натуральных числа a и b (где b = a + 1) таковы, что квадрат их суммы больше суммы их квадратов на 112. Найдите числа. Метод 1. Прямое решение по переменной 1) Пусть числа: n и n+1, где n ∈ N. 2) По условию: (n + (n+1))^2 = n^2 + (n+1)^2 + 112. 3) Слева: (n + n + 1)^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1. Справа: n^2 + (n+1)^2 + 112 = (n^2 + n^2 + 2n + 1) + 112 = 2n^2 + 2n + 113. 4) Приравниваем и приводим подобные: 4n^2 + 4n + 1 = 2n^2 + 2n + 113 → 2n^2 + 2n - 112 = 0 → n^2 + n - 56 = 0. 5) Дискриминант: D = 1 + 224 = 225, корень 15. n = (-1 ± 15) / 2 → n = 7 или n = -8. Поскольку n натуральное, выбираем n = 7. 6) Тогда числа: 7 и 8. Проверка: сумма = 15, квадрат суммы = 225; квадраты суммируются: 49 + 64 = 113; разница 225 − 113 = 112. Всё верно. Метод 2. Через формулу (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab 1) Пусть числа a и b, где b = a + 1. 2) По условию: (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 112. Но (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab, значит 2ab = 112 → ab = 56. 3) Так как b = a + 1, имеем a(a + 1) = 56 → a^2 + a − 56 = 0. 4) Решение: (a − 7)(a + 8) = 0 → a = 7 или a = −8. Натуральное — a = 7, следовательно b = 8. 5) Проверка снабжает ту же пару: 7 и 8. Ответ: числа 7 и 8.