Производная. Правила дифференцирования

Кратко: производная это мгновенная скорость изменения функции или наклон касательной к графику. Формально: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h. Основные правила дифференцирования 1) Константы - d/dx c = 0, где c — постоянная. 2) Степенная функция - d/dx x^n = n x^{n-1} (для целых n; в общем случае при достаточно плавной функции можно продолжать правила для вещественных n). 3) Линейность (правила сумм и скалярного умножения) - d/dx [a f(x) + b g(x)] = a f'(x) + b g'(x), где a,b — константы. - d/dx [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) - d/dx [f(x) − g(x)] = f'(x) − g'(x) 4) Правило произведения - d/dx [u(x) · v(x)] = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) 5) Правило частного - d/dx [u(x) / v(x)] = [u'(x) v(x) − u(x) v'(x)] / [v(x)]^2, при v(x) ≠ 0 6) Цепное правило - d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) · g'(x) Производные базовых функций - d/dx x = 1 - d/dx c = 0 - d/dx x^n = n x^{n−1} (степенное правило) - d/dx e^x = e^x - d/dx a^x = a^x ln a (для положительного a) - d/dx ln x = 1/x - d/dx log_a x = 1 / (x ln a) Тригонометрические функции - d/dx sin x = cos x - d/dx cos x = −sin x - d/dx tan x = sec^2 x - d/dx cot x = −csc^2 x - d/dx sec x = sec x tan x - d/dx csc x = −csc x cot x Обратные тригонометрические функции - d/dx arcsin x = 1/√(1 − x^2) - d/dx arccos x = −1/√(1 − x^2) - d/dx arctan x = 1/(1 + x^2) Производные экспонент и логарифм - d/dx e^{g(x)} = e^{g(x)} · g'(x) (в частности d/dx e^x = e^x) - d/dx a^{g(x)} = a^{g(x)} · ln a · g'(x) - d/dx ln(g(x)) = g'(x) / g(x) (при g(x) > 0) Дополнительные техники - Производная произведения/части легко комбинируются с цепным правилом. - Для сложных функций часто используют цепное правило: сначала дифференцируем внутреннюю функцию, потом внешнюю. - Логарифмическая дифференциация полезна для функций вида f(x) = x^x или произведение множителей: ln f(x) и затем продифференцировать по частям. Примеры 1) y = (3x^2 + 2x − 1)^5 d/dx y = 5(3x^2 + 2x − 1)^4 · (6x + 2) 2) y = ln(x^2 + 1) d/dx y = (1/(x^2 + 1)) · 2x = 2x/(x^2 + 1) 3) y = sin(3x) · cos x d/dx y = (cos(3x) · 3) · cos x + sin(3x) · (−sin x) = 3 cos(3x) cos x − sin(3x) sin x 4) y = e^{x^2} d/dx y = e^{x^2} · 2x Быстрые советы для экзамена - Всегда начинайте с распознавания: какие функции принимает ваши выражения (сложные через цепное правило? произведение/часть?). - Применяйте линейность в первую очередь: разложите на суммы и т.д. - Проверяйте области определения: знаменатель не должен быть нулем; под корнем и в логарифме должны быть положительные аргументы. - Выполняйте цепное правило аккуратно: внутри функции сначала дифференцируйте, затем снаружи. - Приводите к простым форму: иногда полезно развести произведение/квази-правило перед дифференцированием. - На экзамене – пишите сначала правило, затем применяйте к u(x), v(x): так меньше ошибок. Если хотите, могу подготовить компактную шпаргалку по правилам или подобрать дополнительные примеры под конкретную тему, которая у вас вызывается затруднение.