реши систему графическим способом подробно 12x - 7y=2 4x - 5y=6

Графическое решение системы: 12x − 7y = 2 и 4x − 5y = 6

Цель: понять, как найти решение графически и проверить его.

1. Приведём каждое уравнение к виду y = kx + b

• Для 12x − 7y = 2:

  • Переставим: -7y = 2 − 12x
  • y = (12x − 2) / 7 = (12/7)x − 2/7
  • Уравнение прямой: y = (12/7)x − 2/7
  • Точки пересечения с осями:
    • x-пересечение (y = 0): 12x − 7·0 = 2 → x = 1/6
    • y-пересечение (x = 0): 12·0 − 7y = 2 → y = −2/7
  • Так что одна прямая проходит через (1/6, 0) и (0, −2/7).

• Для 4x − 5y = 6:

  • Переставим: -5y = 6 − 4x
  • y = (4x − 6)/5 = (4/5)x − 6/5
  • Уравнение прямой: y = (4/5)x − 6/5
  • Точки пересечения с осями:
    • x-пересечение (y = 0): 4x − 5·0 = 6 → x = 6/4 = 3/2
    • y-пересечение (x = 0): 4·0 − 5y = 6 → y = −6/5

2. Построение графиков (описание графического шага)

• Возьмите сетку на плоскости (например, x от −2 до 2, y от −3 до 3).
• Постройте прямую через точки (1/6, 0) и (0, −2/7) — это график первого уравнения.
• Постройте прямую через точки (3/2, 0) и (0, −6/5) — это график второго уравнения.
• Эти две прямые на графике пересекутся в одной точке.

3. Точка пересечения графиков

• По расчету подставим найденную точку пересечения в каждое уравнение, чтобы убедиться:
  • Если x = −1 и y = −2:
    • Для 12x − 7y = 2: 12(−1) − 7(−2) = −12 + 14 = 2 ✓
    • Для 4x − 5y = 6: 4(−1) − 5(−2) = −4 + 10 = 6 ✓
• Значит, точка пересечения графиков и решение системы: x = −1, y = −2.

Ответ: (-1, −2)

Дополнение (для понимания и проверки):

• Линии имеют разные углы наклона (k1 = 12/7 ≈ 1.714, k2 = 4/5 = 0.8), поэтому они пересекаются в одной точке.
• Графически это место пересечения и есть решение системы. Для проверки достаточно подставить найденные координаты в оба уравнения.