Определите количество 13-ричных семизначных чисел, в записи которых не менее двух цифр 5 и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом

Задача: определить количество 7-цифровых чисел в основание 13, в записи которых чередуются чётные и нечётные цифры (никакие две чётные и никакие две нечётные не стоят рядом) и в которых встречается цифра 5 не менее двух раз. Замечания: - В base-13 цифры: чётные = {0,2,4,6,8,10(A),12(C)} — 7 штук; нечётные = {1,3,5,7,9,11(B)} — 6 штук. - Первая цифра не может быть 0. - Возможно две парные случаи чередования: начинать с чётной цифры (E-first) или с нечётной (O-first). 1) Паттерн E-first: E O E O E O E - Чётные позиции: 1,3,5,7. - Для позиции 1: 6 вариантов (чётные без 0: {2,4,6,8,10,12}). - Для позиций 3,5,7: по 7 вариантов (включая 0). Итого число вариантов для чётных позиций: 6 * 7 * 7 * 7 = 2058. - Нечётные позиции: 2,4,6. - Каждая позиция: 6 вариантов (округ нечётных цифр {1,3,5,7,9,11}). Итого для нечётных позиций: 6^3 = 216. Всего для паттерна A: 2058 * 216 = 444,528. Теперь учтём условие хотя бы двух 5. - Цифра 5 — нечётная, значит может быть только на позициях 2,4,6 (3 позиции). - Считаем число с нулём 5 на нечётных позициях: на 2,4,6 выбираем из оставшихся нечётных цифр без 5 — 5 вариантов на каждую позицию. Итого 5^3 = 125. Тогда общее число = 2058 * 125 = 257,250. - Чисто одна 5 на нечётной позиции: выбираем позицию из 3 слотов для 5 (3 варианта), на остальных двух нечётных позициях — по 5 вариантов (не 5). Тогда 3 * 5^2 = 75 вариантов для нечётных позиций. Итого 2058 * 75 = 154,350. - Число с polностью менее двух 5 равно сумме выше: 257,250 + 154,350 = 411,600. - Значит для паттерна A подходят: 444,528 - 411,600 = 32,928 чисел. 2) Паттерн O-first: O E O E O E O - Нечётные позиции: 1,3,5,7 (4 позиции). - Чётные позиции: 2,4,6 (3 позиции). - Для нечётных позиций на первом месте: 6 вариантов, для других нечётных позиций — по 6 вариантов. Итого для нечётных позиций: 6^4 = 1296. - Для чётных позиций: 7 вариантов на каждую. Итого для чётных позиций: 7^3 = 343. Всего для паттерна B: 1296 * 343 = 444,528 (та же цифра, как и в паттерне A). Теперь учтем условие хотя бы двух 5: - 5 — нечётная, поэтому на нечётных позициях (1,3,5,7) может быть 5. - Число с нулём 5 на нечётных позициях: на 4 нечётных позициях можно выбрать из 5 не-5 вариантов, значит 5^4 = 625 вариантов; чётные позиции остаются 7^3 = 343. Итого Z0_B = 625 * 343 = 214,375. - Число с ровно одной 5 на нечётных позициях: выбрать одну из 4 нечётных позиций для 5 (4 варианта); на остальных трёх нечётных позициях — по 5 вариантов (не 5). Итого 4 * 5^3 = 4 * 125 = 500 вариантов для нечётных позиций; умножаем на 7^3 = 343 для чётных позиций: Z1_B = 500 * 343 = 171,500. - Число с менее чем двумя 5: Z0_B + Z1_B = 214,375 + 171,500 = 385,875. - Следовательно для паттерна B подходит: 444,528 - 385,875 = 58,653. 3) Сумма по обоим паттернам: 32,928 + 58,653 = 91,581. Ответ: 91 581.