Стороны треугольника равны 4 , 5 и 6 . Основания трёх его биссектрис образуют новый треугольник. Найдите отношение площадей этих треугольников. Ответ запишите через двоеточие.

Задача: стороны треугольника равны 4, 5 и 6. Основания трёх его биссектрис образуют новый треугольник. Найдите отношение площадей этих треугольников. Ответ через двоеточие. Обозначения и план: - Обозначим исходный треугольник ABC так, чтобы BC = a = 4, CA = b = 5, AB = c = 6. - Пусть A1, B1, C1 — точки пересечения биссектрис из вершин A, B, C с противоположными сторонами: A1 на BC, B1 на CA, C1 на AB. - Найдём координаты вершин и точек A1, B1, C1, затем найдём площади S(ABC) и S(A1B1C1). Отношение S(ABC):S(A1B1C1) даст ответ. 1) Координаты исходного треугольника - Поместим B = (0,0), C = (4,0). Тогда BC = 4. - Найдём координату A при условиях AB = c = 6, AC = b = 5. Из AB^2: x^2 + y^2 = 36. Из AC^2: (x − 4)^2 + y^2 = 25 → x^2 + y^2 − 8x = 9. Вычитая: 36 − (x^2 + y^2) = 0, получаем x = 27/8. Тогда y^2 = 36 − (27/8)^2 = 1575/64, следовательно y = 15√7/8. - Итак, A = (27/8, 15√7/8). 2) Точки A1, B1, C1 (площадки биссектрис) - A1 лежит на BC и BA1:A1C = AB:AC = 6:5. Длина BC = 4, значит BA1 = 6/11 · 4 = 24/11. Следовательно A1 = (24/11, 0). - B1 лежит на CA и AB1:B1C = AB:BC = 6:4 = 3:2. Значит AB1 = 3/5 · CA = 3. B1 задаётся как A + (AB1/AC)(C − A) = A + (3/5)(C − A). Вычисляя, получаем B1 = (15/4, 3√7/4). - C1 лежит на AB и AC1:C1B = AC:BC = 5:4. Значит AC1 = 5/9 · AB = 10/3. Параметр вдоль AB: t = AC1/AB = (10/3)/6 = 5/9. C1 = A + t(B − A) = (4/9)A + (5/9)B. Получаем C1 = (3/2, 5√7/6). 3) Площадь исходного треугольника ABC - Основание BC = 4, высота от A к BC равна yA = 15√7/8. - S(ABC) = 1/2 · 4 · (15√7/8) = 15√7/4. 4) Площадь треугольника A1B1C1 - Используем формулу площади: S = 1/2 |x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|. - Подставим: A1 = (24/11, 0), B1 = (15/4, 3√7/4), C1 = (3/2, 5√7/6). - Вычисления дают: y2 − y3 = (3√7)/4 − (5√7)/6 = −√7/12, y3 − y1 = (5√7)/6, y1 − y2 = −(3√7)/4. Тогда сумма равна: x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2) = (24/11)(−√7/12) + (15/4)(5√7/6) + (3/2)(−3√7/4) = −2√7/11 + 25√7/8 − 9√7/8 = (−2/11 + 2)√7 = 20√7/11. - Следовательно S(A1B1C1) = 1/2 · (20√7/11) = 10√7/11. 5) Отношение площадей - S(ABC) : S(A1B1C1) = (15√7/4) : (10√7/11) = (15/4) : (10/11) = 33:8. Ответ: 33:8