Выберите все верные утверждения: У монотонной функции производная всегда положительная. Если производная функции на промежутке меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.…

Верные утверждения: 2, 3 и 4. Неверно: 1.

Пояснения по каждой позиции

1. У монотонной функции производная всегда положительная.

• Это неверно. Монотонность не требует строго положительной производной. Например, функция f(x) = x^3 на всей оси R строго возрастает, но ее производная f'(x) = 3x^2 равна нулю в x = 0. Значит “производная всегда положительная” не обязана выполняться для монотонной функции. Даже если функция монотонно возрастает, её производная может быть равна нулю на некоторых участках.

2. Если производная функции на промежутке меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.

• Это верно. Если f'(x) < 0 для всех x на промежутке, то для любых x1 < x2 на этом промежутке по теореме о среднем значении существует c ∈ (x1, x2) такое, что f(x2) − f(x1) = f'(c)(x2 − x1) < 0. Значит f(x2) < f(x1) и функция строго убывает на промежутке.

3. Значение функции в точке максимума не может быть меньше значения функции в точке минимума.

• Это верно. Если на некотором области D функция достигает максимума в точке x_max и минимума в точке x_min, то f(x_max) ≥ f(x_min) по определению экстремумов (максимум не превосходит минимальное значение). Возможна ситуация равенства (например, функция константа на D).

4. Функция может не иметь точек экстремума.

• Это верно. Пример: f(x) = e^x на всей R не имеет ни локальных, ни глобальных максимумов или минимумов. Более просто: функция f(x) = x также не имеет локальных экстремумов на R. Поэтому утверждение допустимо.

Итог: верны 2, 3 и 4.