F ( x ) = { 3x + 12 при x < - 5 . { - 2 - x при - 5 < x <5

Задача данная: F(x) = { 3x + 12 при x < -5; -2 - x при -5 < x < 5 }.

Так как цель — понять, ниже подробное решение и разбор.

1. Область определения (домена)

• Первая ветка: x < -5
• Вторая ветка: -5 < x < 5
• Значение в точке x = -5 не задано, а также для x ≥ 5 функция не определена.
• Итоговая область определения: (-∞, -5) ∪ (-5, 5).

2. Что представляет каждая ветка

• Левая ветка: y = 3x + 12. Это прямая с наклоном 3, пересечение с остаю y при x=0 равно 12. Определена для всех x < -5.
• Правая ветка: y = -2 - x = -(x) - 2. Это прямая с наклоном -1, пересечение с осью y в точке (0,-2). Определена для всех -5 < x < 5.

3. Сходимость к границам и непрерывность

• При x → -5 слева (из области x < -5): F(x) = 3x + 12 → 3(-5) + 12 = -15 + 12 = -3. Значение слева стремится к -3.

• При x → -5 справа (из области -5 < x < 5): F(x) = -2 - x → -2 - (-5) = 3. Значение справа стремится к 3.

• Поскольку левая и правая пределы не совпадают и в точке x = -5 функция не определена, в точке x = -5 наблюдается разрыв скачкообразный (разрыв типа «скачок»).

• При x → 5 слева (из области -5 < x < 5): F(x) → -2 - 5 = -7. Но в точке x = 5 функция не определена, поэтому этот предел говорит об ограничении графика слева, но точка не входит в область определения.

4. Примеры значений (для понимания)

• F(-10) = 3(-10) + 12 = -30 + 12 = -18
• F(-6) = 3(-6) + 12 = -18 + 12 = -6
• F(-4) = -2 - (-4) = 2
• F(0) = -2 - 0 = -2
• F(4) = -2 - 4 = -6

5. Нули функции (решение F(x) = 0)

• Для первой ветки: 3x + 12 = 0 → x = -4. Но требование x < -5 нарушено, значит в этой ветке корней нет.
• Для второй ветки: -2 - x = 0 → x = -2. При -5 < -2 < 5 это допустимо, значит x = -2 — корень функции. То же значение F(-2) = 0.

6. Ключевые выводы

• Функция задается двумя линейными ветвями на подмножествах, которые не перекрываются и не содержат границу x = -5.
• График состоит из двух стрелок-отрезков: левая ветка слева от x = -5, прямая с наклоном 3; правая ветка между x = -5 и x = 5, прямая с наклоном -1.
• В точке x = -5 разрыв (скачок): левая и правая пределы не совпадают, самой точки в определении нет.
• Функция имеет один корень на интервале (-5, 5): x = -2.

Если хотите, могу:

• построить набросок графика устно или с помощью координат;
• привести дополнительные примеры вычислений;
• рассмотреть, как можно дополнить функцию значением в x = -5 или при x ≥ 5 (по требованию задачи).