cos5x + cos3x = 0

Задача: cos(5x) + cos(3x) = 0 Цель: понять решение с подробными пояснениями.

Пошаговое решение

1. Применим формулу суммы косинусов: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A−B)/2). Здесь A = 5x, B = 3x. Получаем: cos(5x) + cos(3x) = 2 cos(4x) cos(x).

   В уравнении это даёт: 2 cos(4x) cos(x) = 0.

2. Поскольку произведение равно нулю, каждый множитель может быть нулём.

   • Первый: cos(x) = 0. Решение: x = π/2 + kπ, где k ∈ Z.
   • Второй: cos(4x) = 0. Решение: 4x = π/2 + kπ ⇒ x = π/8 + kπ/4, где k ∈ Z.

3. Объединяем решения: x ∈ { π/2 + kπ } ∪ { π/8 + kπ/4 }, для всех целых k.

Дополнительные заметки

• Векторически можно записать так же в зависимости от желаемой формы: в градусах это x = 90° + 180°k и x = 22.5° + 45°k.
• Эти множества не пересекаются между собой (проверка: для пересечения потребовалось бы решение, которое здесь не существует).

Примеры подстановки

• Пусть x = π/2: cos(5x) = cos(5π/2) = 0, cos(3x) = cos(3π/2) = 0, сумма 0.
• Пусть x = π/8: cos(5x) + cos(3x) ≈ cos(5π/8) + cos(3π/8) ≈ −0.3827 + 0.3827 = 0.

Итог Все решения: x = π/2 + kπ или x = π/8 + kπ/4, где k ∈ Z.