Cos5x + cos3x = 0

Задача: cos(5x) + cos(3x) = 0 Цель: понять решение с подробными пояснениями. Пошаговое решение 1) Применим формулу суммы косинусов: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A−B)/2). Здесь A = 5x, B = 3x. Получаем: cos(5x) + cos(3x) = 2 cos(4x) cos(x). В уравнении это даёт: 2 cos(4x) cos(x) = 0. 2) Поскольку произведение равно нулю, каждый множитель может быть нулём. - Первый: cos(x) = 0. Решение: x = π/2 + kπ, где k ∈ Z. - Второй: cos(4x) = 0. Решение: 4x = π/2 + kπ ⇒ x = π/8 + kπ/4, где k ∈ Z. 3) Объединяем решения: x ∈ { π/2 + kπ } ∪ { π/8 + kπ/4 }, для всех целых k. Дополнительные заметки - Векторически можно записать так же в зависимости от желаемой формы: в градусах это x = 90° + 180°k и x = 22.5° + 45°k. - Эти множества не пересекаются между собой (проверка: для пересечения потребовалось бы решение, которое здесь не существует). Примеры подстановки - Пусть x = π/2: cos(5x) = cos(5π/2) = 0, cos(3x) = cos(3π/2) = 0, сумма 0. - Пусть x = π/8: cos(5x) + cos(3x) ≈ cos(5π/8) + cos(3π/8) ≈ −0.3827 + 0.3827 = 0. Итог Все решения: x = π/2 + kπ или x = π/8 + kπ/4, где k ∈ Z.