Выберите предметные результаты освоения программы по учебному курсу «Алгебра и начала математического анализа» на уровне среднего общего образования, которые должны быть освоены в…

Ниже приведены предметные результаты освоения раздела «Функции и графики» по учебному курсу «Алгебра и начала математического анализа» для 10 класса (базовый уровень). Формулировки ориентированы на понятия и навыки, которые обычно требуют базовой подготовки средней школы и соответствуют указанным темам.

Знать

• Определение области определения функции (D) и множества значений (образа) функции (F). Понимать различие между D и F и уметь распознавать их по заданному выражению.
• Что такое нули функции и как их находить (решение f(x)=0).
• Что означают интервалы знакопостоянства функции и как определить знак функции на каждом из них.
• Что такое чётные и нечётные функции и как по формуле или графику определить их чётность.
• Различие между различными способами задания функции: явное выражение, график, таблица значений, словесное описание.
• Что такое взаимно обратные функции и как они связаны графически и алгебраически.
• Что такое композиция функций и как понимать графически и алгебраически y = f(g(x)).
• Что такое степенная функция f(x)=x^n с натуральным или целым степенью и их основные свойства (помимо прочего, графики степенных функций и их симметрия).
• Что такое корень n-й степени и его свойства, включая график и связь с обратной степенной функцией.
• Что такое график функции и как он отображает зависимость между переменными; как график может служить инструментом анализа реальных процессов.
• Что такое график взаимно обратных функций и как он отражает взаимное соответствие входа и выхода.
• Как геометрически образуются уравнения и неравенства на координатной плоскости и как это видоизменяет графики решений.
• Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях и как их изображать и анализировать на графике.

Уметь

• Определять область определения и множество значений заданной функции по её формуле или табличной/графической форме; корректно записывать D и F.
• Найти нули функции и интерпретировать их смысл в контексте задачи.
• Определять и записывать интервалы знакопостоянства функции; объяснять смену знака на каждом таком интервале.
• Определять по свойствам или по графику, является ли функция чётной или нечётной; приводить примеры.
• Выбирать подходящий способ задания функции в задаче и строить соответствующие графики или таблицы; работать с графиком как источником информации.
• Находить взаимно обратные функции: решать y = f(x) относительно x, записывать f^{-1} и проверять, что f(f^{-1}(x))=x и f^{-1}(f(x))=x на допустимом домене.
• Выполнять композициев функций: строить график f∘g, понимать какие изменения происходят с графиком.
• Исследовать свойства степенной функции и функции корня: определять возрастные особенности графиков, симметрию, монотонность на заданном интервале, а также области определения и знаки.
• Анализировать график корня n-й степени как обратной к степенной функции с натуральным показателем; устанавливать связи между ограничениями области определения и графиками.
• Читать и строить графики реальных зависимостей; интерпретировать значения по контексту задачи.
• Графически изображать решения уравнений и неравенств, понимать геометрическую интерпретацию на координатной плоскости.
• Применять графики для моделирования реальных процессов и зависимостей, делать выводы и обобщения.

Понимать

• Связь между формальным определением функции и её графиком: как область определения и диапазон влияют на форму графика.
• Связь между степенной функцией и её обратной функцией через графический знак и через форму выражения.
• Как изменение домена, постановки задачи или ограничения на параметры влияет на нули, интервалы знакопостоянства и общую форму графика.
• Как свойства четности/нечетности влияют на симметрию графика и на поведение функций на бесконечно больших значениях.

Примечание

• Все пункты ориентированы на базовый уровень обучения: простое аналитическое вычисление, построение и интерпретация графиков, связь между алгебраическими формулами и их графическими изображениями. Более продвинутые вопросы (например, детальные доказательства монотонности на каждом интервале для произвольной степени, спектральные свойства функций и т.п.) могут выходить за рамки базового уровня и быть введены позже.