Длина перпендикуляра CD, проведенного из точки С окружно-сти к ее диаметру, равна 18 см. Точка D делит диаметр АВ в отношении 9 : 1. Вычислите длину радиуса окружности.

Задача решается через декартову систему координат.

1. Пусть центр О окружности в начале координат, радиус r. Диаметр AB лежит на оси x: A(-r, 0), B(r, 0). Точка C на окружности имеет координаты (x, y) с условием x^2 + y^2 = r^2. Точка D – проекция C на диаметр AB, значит D = (x, 0) и CD = |y|.

2. Длина отрезка AD и DB по диаметру:

• AD = расстояние от A(-r) до D(x): AD = x + r
• DB = расстояние от D(x) до B(r): DB = r − x

По условию D делит диаметр в отношении 9:1, то есть (AD):(DB) = 9:1 или 1:9. Это даёт уравнение (x + r)/(r − x) = 9/1 или = 1/9. Решая оба варианта, получаем x = ±(4/5)r. В обоих случаях y удовлетворяет: y^2 = r^2 − x^2 = r^2 − (16/25)r^2 = (9/25)r^2, поэтому |y| = (3/5)r.

Следовательно CD = |y| = (3/5)r.

3. По условию CD = 18 см. Тогда: (3/5)r = 18 → r = 18 · (5/3) = 30 см.

Ответ: радиус окружности равен 30 см.