Тест на тему Квадратные корни

Ниже представлен тест по алгебре на тему бесконечно убывающей геометрической прогрессии для 10 класса. Все вопросы открытые. В конце даны ответы и краткие решения.

Название: Тест по алгебре — Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Класс: 10 Тип вопросов: Открытый Количество вопросов: 6 Условие: предполагается, что 0 < q < 1 (прогрессия убывающая и сходится к сумме).

1. Определение и общий член Условие: Дан бесконечно убывающий геометрический прогресс с первым членом a1 и знаменателем q, где 0 < q < 1. Задача: запишите формулу для общего члена a_n и найдите a_5, если a1 = 25 и q = 0.6.

2. Сумма первых n членов Условие: Снова дан бесконечно убывающий геометрический прогресс с первым членом a1 и знаменателем q, 0 < q < 1. Задача: найдите сумму первых n членов S_n. Посчитайте S_6 для примера: a1 = 4, q = 0.5.

3. Сумма бесконечного ряда Условие: Пусть 0 < q < 1. Задача: найдите условие сходимости бесконечной суммы и её значение S_∞ для данных примеров: a1 = 6, q = 1/3.

4. Найти первый член, когда a_n falls below 1 Условие: Пусть 0 < q < 1. Задача: найдите наименьшее n such that a_n < 1, если a1 = 8 и q = 0.5.

5. Конкретные члены прогрессии Условие: Пусть 0 < q < 1. Задача: найдите a_4 и a_7 для a1 = 200 и q = 0.5.

6. Концептуальный вопрос Задача: Объясните, почему сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии может быть конечной, даже несмотря на бесконечное число членов. Какие условие на знаменатель q для этого выполняются, и каковы формулы для суммы первых n членов и для суммы бесконечного ряда?

Ответы

1. Общий член и a_5

• Общий член геометрической прогрессии: a_n = a1 · q^(n-1).
• Для a1 = 25 и q = 0.6: a_5 = 25 · (0.6)^(5-1) = 25 · (0.6)^4 = 25 · 0.1296 = 3.24.

2. Сумма первых n членов

• Сумма первых n членов: S_n = a1 · (1 − q^n) / (1 − q), при q ≠ 1.
• Для a1 = 4, q = 0.5, n = 6: S_6 = 4 · (1 − 0.5^6) / (1 − 0.5) = 4 · (1 − 1/64) / 0.5 = 4 · (63/64) · 2 = 8 · 63/64 = 7.875.

3. Сумма бесконечного ряда

• Условие сходимости: если 0 < q < 1, то бесконечная сумма сходится.
• Сумма бесконечного ряда: S_∞ = a1 / (1 − q).
• Для a1 = 6, q = 1/3: S_∞ = 6 / (1 − 1/3) = 6 / (2/3) = 9.

4. Найти наименьшее n, при котором a_n < 1

• Условие: a_n = a1 · q^(n−1) < 1.
• Для a1 = 8, q = 0.5: 8 · (0.5)^(n−1) < 1 → (0.5)^(n−1) < 1/8.
• Так как (0.5)^3 = 1/8, необходимо n − 1 > 3 → n ≥ 5. Ответ: n = 5.

5. Конкретные члены прогрессии

• Для a1 = 200 и q = 0.5: a_4 = 200 · (0.5)^(4−1) = 200 · (0.5)^3 = 200 / 8 = 25. a_7 = 200 · (0.5)^(7−1) = 200 · (0.5)^6 = 200 / 64 = 3.125.

6. Концептуальный ответ

• Причина конструктивная: если 0 < q < 1, члены прогрессии стремятся к нулю, а сумма первых n членов S_n = a1 · (1 − q^n) / (1 − q) стремится к пределу S_∞ = a1/(1−q) при n → ∞.
• Таким образом, бесконечно большое число членов может складываться в конечную величину.
• Условия: для конечности суммы бесконечного ряда необходимо 0 < q < 1. Если q ≥ 1, или q ≤ −1, ряд не сходится (или члены не стремятся к нулю), и сумма бесконечна.
• Формулы: S_n = a1 · (1 − q^n) / (1 − q); S_∞ = a1 / (1 − q) при 0 < q < 1.

Тест по биологии для 5 класса
Тема: Многообразие и значение организмов
Тип: Соотнесение

Инструкция: Соотнесите каждый организм с его значением или характеристикой. Запишите соответствующие номера рядом.

1. Бактерия
2. Цветок
3. Гриб
4. Дерево
5. Рыба
6. Птица
7. Млекопитающее
8. Насекомое
9. Мох
10. Амфибия

А. Участвует в опылении растений
Б. Важный элемент экосистемы, перерабатывает органические вещества
В. Источник пищи для многих животных и человека
Г. Производит кислород и чистит воздух
Д. Приносит пользу в виде меда и удобрения
Е. Оказывает влияние на структуру почвы
Ж. Игратет важную роль в цепи питания
З. Мигрирует в поисках пищи и тепла
И. Помогает поддерживать влажность в лесах
К. Способен дышать как в воде, так и на суше

Удачи вам в тестировании!

Вот тест по теме "Вычисление производной сложной функции" для 11 класса, состоящий из 15 вопросов с множественным выбором, а также с ответами.

Тест по математике: Вычисление производной сложной функции

Вопрос 1: Найдите производную функции ( f(x) = (3x^2 + 2)^5 ).

a) ( 30x(3x^2 + 2)^4 )
b) ( 15x(3x^2 + 2)^4 )
c) ( 5(3x^2 + 2)^4 )
d) ( 6x(3x^2 + 2)^5 )

Ответ: a) ( 30x(3x^2 + 2)^4 )

---

Вопрос 2: Найдите производную функции ( g(x) = \sin(2x^3) ).

a) ( 6x^2 \cos(2x^3) )
b) ( 2x^3 \cos(2x^3) )
c) ( 3\cos(2x^3) )
d) ( 2x^2 \cos(2x^3) )

Ответ: a) ( 6x^2 \cos(2x^3) )

---

Вопрос 3: Найдите производную функции ( h(x) = e^{x^2 + 1} ).

a) ( 2xe^{x^2 + 1} )
b) ( e^{x^2 + 1} )
c) ( 2xe )
d) ( xe )

Ответ: a) ( 2xe^{x^2 + 1} )

---

Вопрос 4: Найдите производную функции ( p(x) = \ln(5x^2 + 3) ).

a) ( \frac{10x}{5x^2 + 3} )
b) ( \frac{5x}{5x^2 + 3} )
c) ( \frac{2x}{5x^2 + 3} )
d) ( \frac{1}{5x^2 + 3} )

Ответ: a) ( \frac{10x}{5x^2 + 3} )

---

Вопрос 5: Найдите производную функции ( q(x) = \tan(3x) ).

a) ( 3\sec^2(3x) )
b) ( 3\sin(3x) )
c) ( 3\cos(3x) )
d) ( \sec^2(3x) )

Ответ: a) ( 3\sec^2(3x) )

---

Вопрос 6: Найдите производную функции ( r(x) = x^2 \cdot \sin(x) ).

a) ( 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) )
b) ( x^2 \cdot \cos(x) )
c) ( 2x \cdot \cos(x) )
d) ( x^2 \cdot \sin(x) )

Ответ: a) ( 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) )

---

Вопрос 7: Найдите производную функции ( s(x) = \frac{1}{x^2 + 1} ).

a) ( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} )
b) ( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} )
c) ( -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} )
d) ( -2x )

Ответ: a) ( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} )

---

Вопрос 8: Найдите производную функции ( t(x) = \sqrt{x^2 + 4} ).

a) ( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} )
b) ( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 4}} )
c) ( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} )
d) ( \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4}} )

Ответ: a) ( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} )

---

Вопрос 9: Найдите производную функции ( u(x) = \frac{1}{\sin(x)} ).

a) ( -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} )
b) ( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} )
c) ( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} )
d) ( -\sin(x) )

Ответ: a) ( -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} )

---

Вопрос 10: Найдите производную функции ( v(x) = e^{\sin(x)} ).

a) ( e^{\sin(x)} \cos(x) )
b) ( -e^{\sin(x)} \sin(x) )
c) ( e^{\sin(x)} )
d) ( \cos(x) )

Ответ: a) ( e^{\sin(x)} \cos(x) )

---

Вопрос 11: Найдите производную функции ( w(x) = \sqrt{(2x + 1)(x - 1)} ).

a) ( \frac{2}{\sqrt{(2x + 1)(x - 1)}} )
b) ( \frac{3x}{\sqrt{(2x + 1)(x - 1)}} )
c) ( \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{2x + 1} )
d) ( \frac{(2x + 1 + x - 1)}{2\sqrt{(2x + 1)(x - 1)}} )

Ответ: d) ( \frac{(2x + 1 + x - 1)}{2\sqrt{(2x + 1)(x - 1)}} )

---

Вопрос 12: Найдите производную функции ( y(x) = \cos^2(x) ).

a) ( -2\sin(x)\cos(x) )
b) ( 2\cos(x)\sin(x) )
c) ( -\sin(2x) )
d) ( 2\sin^2(x) )

Ответ: a) ( -2\sin(x)\cos(x) )

---

Вопрос 13: Найдите производную функции ( z(x) = (x^3 + 4x)(\sin(x)) ).

a) ( 3x^2 \sin(x) + (x^3 + 4x)\cos(x) )
b) ( 3x^2 \sin(x) + (x^2 + 4)\cos(x) )
c) ( \sin(x) )
d) ( (3x^2 + 4)\sin(x) )

Ответ: a) ( 3x^2 \sin(x) + (x^3 + 4x)\cos(x) )

---

Вопрос 14: Найдите производную функции ( k(x) = \ln(x^3 + 1) ).

a) ( \frac{3x^2}{x^3 + 1} )
b) ( \frac{1}{x^3 + 1} )
c) ( 3\ln(x^3 + 1) )
d) ( \frac{1}{3x^2} )

Ответ: a) ( \frac{3x^2}{x^3 + 1} )

---

Вопрос 15: Найдите производную функции ( m(x) = x \cdot e^{-x} ).

a) ( e^{-x} - xe^{-x} )
b) ( e^{-x} + xe^{-x} )
c) ( -e^{-x} - xe^{x} )
d) ( -e^{-x} + xe^{-x} )

Ответ: a) ( e^{-x} - xe^{-x} )

---

Этот тест поможет всем ученикам закрепить знания по теме "Вычисление производной сложной функции". Успехов на экзаменах!

Тест по математике для учеников 3 класса

Тема: Составные задачи на деление суммы на число

Ответы к вопросам находятся в конце теста

1. В магазине было куплено 24 яблока. Их распределили между 4 детьми равномерно. Сколько яблок досталось каждому ребенку?

2. В коробке было 36 конфет. Мама дала сыну 6 конфет, а дочке 12. Сколько конфет осталось в коробке после этого?

3. Друзья собрали 60 монет разного достоинства. Они делали стопки из 5 монет. Сколько получилось стопок у друзей?

4. В классе 30 учеников. Учитель раздал им карандаши так, что каждому досталось по 3 карандаша. Сколько всего карандашей учитель раздал?

5. На дне кармана у папы было 56 монет номиналом в 7 рублей. Сколько всего денег было в кармане у папы?

6. В коробке было 24 ящика с конструктором. Если каждый ящик содержит 6 деталей, сколько всего деталей было в коробке?

Ответы к вопросам

1. 6 яблок
2. 18 конфет
3. 12 стопок
4. 90 карандашей
5. 392 рубля
6. 144 детали

Успехов в решении задач!