Тест на тему задачи на прямоугольник

Ниже тест по геометрии для 8 класса на тему прямоугольника. Все вопросы — открытые. В конце приведены ответы с краткими решениями.

1. Прямоугольник имеет стороны 8 см и 5 см. Найдите площадь и периметр.

2. Прямоугольник стороны 12 см и 7 см. Найдите диагональ.

3. Одна сторона прямоугольника равна 9 см, диагональ равна 15 см. Найдите вторую сторону.

4. В прямоугольнике длина на 25% больше ширины. Площадь равна 180 см². Найдите ширину и длину.

5. Отношение сторон прямоугольника равно 3:4. Сумма диагонали и одной из сторон равна 20 см. Найдите длины сторон (и диагональ).

6. Диагональ прямоугольника равна 10 см. Одна сторона равна 6 см. Найдите вторую сторону и площадь прямоугольника.

7. Прямоугольник с площадью 60 см² и диагональю 10 см. Возможно ли существование такого прямоугольника? Обоснуйте.

8. Прямоугольник имеет длину 9 см и периметр 24 см. Найдите ширину и диагональ.

9. Прямоугольник имеет такую зависимость длин сторон: длина равна вдвое ширине. Периметр равен 40 см. Найдите размеры.

10. Площадь прямоугольника равна 72 см². Длина больше ширины на 3 см. Найдите размеры прямоугольника.

Ответы

1. Площадь S = 8 × 5 = 40 см². Периметр P = 2(8 + 5) = 26 см.

2. Диагональ d = √(12² + 7²) = √193 ≈ 13.89 см.

3. Другую сторону b можно найти по b² = d² − a² = 15² − 9² = 225 − 81 = 144; b = 12 см.

4. Пусть ширина = w, длина = 1.25w. Тогда S = lw = 1.25w² = 180 → w² = 144 → w = 12 см, l = 15 см.

5. Пусть стороны a = 3k, b = 4k. Диагональ d = √(a² + b²) = √(9k² + 16k²) = 5k. Из условия d + a = 20: 5k + 3k = 20 → k = 2.5. Тогда a = 7.5 см, b = 10 см, диагональ d = 12.5 см.

6. d² = a² + b² → b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64 → b = 8 см. Площадь S = ab = 6 × 8 = 48 см².

7. Невозможно. Если S = 60 и d = 10, то a² + b² = 100, а ab = 60. Но a² + b² ≥ 2ab = 120 для любых положительных a, b, следовательно, противоречие. Такой прямоугольник не существует.

8. l = 9 см, P = 24 см → l + w = 12 → w = 3 см. Диагональ d = √(l² + w²) = √(81 + 9) = √90 ≈ 9.49 см.

9. l = 2w, P = 40 см → l + w = 20 → 2w + w = 20 → w = 20/3 ≈ 6.67 см, l = 40/3 ≈ 13.33 см.

10. x² + 3x − 72 = 0, где x — ширина, а длина = x + 3. Дискриминант Δ = 9 + 288 = 297. x = (−3 + √297)/2 ≈ 7.12 см. Ширина ≈ 7.12 см, длина ≈ 10.12 см.