Задание №16777. а) Чему равно число способов записать число 1595 в видегде б)

Задание №16777 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #16777

№1921 по КИМ

а) Чему равно число способов записать число 1595 в виде

где

б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде

Ответ

Ответ:

Решение

Каждое число $0 меньше или равно a_i меньше или равно 99$ однозначно представляется в виде $a_i=10b_i плюс c_i,$ где $0 меньше или равно b_i меньше или равно 9$ и $0 меньше или равно c_i меньше или равно 9 (i=0; 1; 2; 3).$ Значит, для каждого представления некоторого числа $N$ в виде $N=a_3 умножить на 10 в степени 3 плюс a_2 умножить на 10 в степени 2 плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0$ имеет место единственное представление $N$ в виде $N=10n плюс m,$ где $n=b_3 умножить на 10 в степени 3 плюс b_2 умножить на 10 в степени 2 плюс b_1 умножить на 10 плюс b_0$ и $m=c_3 умножить на 10 в степени 3 плюс c_2 умножить на 10 в степени 2 плюс c_1 умножить на 10 плюс c_0$ — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число $N$ в виде $N=a_3 умножить на 10 в степени 3 плюс a_2 умножить на 10 в степени 2 плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0$ равно числу способов записать число $N$ в виде $N = 10n плюс m.$

а) Для представления числа 1595 в виде 1595 = 10n + m в качестве $n$ можно взять любое целое число от 0 до 159. При этом m = 1595 - 10n определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 160.

б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1590 до 1599 представимо в требуемом виде ровно 160 способами.

в) Рассмотрим представление некоторого числа $N$ в виде $N=10n плюс m,$ где $n$ и $m$ — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим $m$ в виде $m=10k плюс l,$ где $l$ — цифра единиц числа $m,$ а $k$ — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:

$N=10n плюс 10k плюс l равносильно N минус l=10(n плюс k) равносильно дробь, числитель — N минус l, знаменатель — 10 =n плюс k.$

Найдём все числа $K,$ представимые ровно 160 способами в виде $K=n плюс k,$ где $n$ — некоторое целое число от 0 до 9999, а $k$ — некоторое целое число от 0 до 999.

Пусть для некоторого числа $K$ представления $K=n_1 плюс k_1$ и $K=n_2 плюс k_2$ таковы, что $n_1$ — наименьшее возможное $n,$ а $n_2$ — наибольшее возможное $n.$ Тогда $n_1=0$ или $k_1=K минус n_1=999,$ иначе бы было представление $K=(n_1 минус 1) плюс (k_1 плюс 1).$ Аналогично, $n_2=9999$ или $k_2=K минус n_2=0.$

Заметим, что для любого целого $n_0$ такого, что $n_1 меньше n_0 меньше n_2,$ имеется представление $K=n_0 плюс k_0,$ поскольку $0 меньше или равно n_1 меньше n_0 меньше n_2 меньше или равно 9999, 0 меньше или равно k_2 меньше k_0 меньше k_1 меньше или равно 999.$ Таким образом, количество представлений равно $n_2 минус n_1 плюс 1.$ Если $n_1 = 0; n_2=9999$ или $k_1=999, k_2=0,$ то представлений больше.