Задание №20311 ЕГЭ Профильной математике

а)
Можно составить неравенство для оценки стандартного куска $115\le l\le 120$, но так как не все куски одинаковы, неравенство будет иметь вид $115<l<120$

$$\begin{gathered} Если \tau о\tau же мо\tau ок разрезан на k одинаковых с\tau андар\tau ных кусков длиной L, \tau о L=k\cdot l. \\ Получаем \\ 23\cdot 115<k\cdot l<23\cdot 120 \\ \frac{23\cdot 115}{l}<k<\frac{23\cdot 120}{l} \end{gathered}$$

Далее нужно понять, что левая часть неравенства должна быть равна или больше, чем минимально возможное количество стандартных кусков или $\frac{23\times 115}{120}$

И аналогично с правой частью неравенста, которая болжна быть меньше или равна, чем максимально возможное количество стандартных кусков или $\frac{23\times 120}{115}$

$$\begin{gathered} \frac{23\times 115}{120}\le \frac{23\times 115}{l}<k<\frac{23\times 120}{l}\le \frac{23\times 120}{115} \\ \frac{23\times 115}{120}<k<\frac{23\times 120}{115} \\ \frac{2645}{120}<k<\frac{2760}{115} \\ 22,04...<k<24 \end{gathered}$$

Следовательно, k =23

б)

Для того, чтобы моток длиной l можно было разрезать на n стандартных кусков, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Так из одного стандартного куска может состоять моток только, если l∈[115;120]. Из двух стандартных кусков моток может состоять только, если l∈[230;240] и т.д. Если $l$ лежит, например, между 120 и 230, то такой моток нельзя разрезать на стандартные куски. Расстояние между соседними допустимыми интервалами уменьшается с ростом n. Рассмотрим интервалы [115n;120n] и [115(n+1);120(n+1)]. Они пересекаются (между ними не будет промежутка) при условии

$$\begin{gathered} 115(n+1)\le 120n \\ 5n\ge 115 \\ n\ge 23 \end{gathered}$$

Поэтому, если l≥115⋅23=2645, то найдётся такое n, что 115n ≤ l ≤ 120n, и такой моток всегда можно разрезать на стандартные куски.