Задание №17233 ЕГЭ Профильной математике

А)

 Было задумано 3 числа, т.к. если бы было задумано 2 числа, то на доске было бы не более 3 чисел, а если бы 4 – не менее 15

Было задумано 1 отрицательное число, потому что, если бы было задумано 2, то было бы на доске написаны минимум 3 числа.

Первое число – наименьшее отрицательное   -3

Остальные два числа дают максимальный положительный результат, в нашем случае это 6. Сумма 6 может получиться из суммы 4 и 2.

Соответственно, были задуманы: -3,2,4

Б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно n нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2n + 1 нулей. Cледовательно, 2n нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, 2n+1 нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Т.к. на доске выписано ровно 5 нулей, среди задуманных чисел есть 0. Нуль получается в тех случаях, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа одного знака дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают; четыре различных задуманных числа одного знака дают 15 сумм, среди которых не может быть трёх одинаковых. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более четырёх.  Загадано 5 чисел, среди которых есть один 0.

-3, -2, 0, 2, 3 – ровно пять нулей

 В) Нет, не всегда.

Например, для  чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2 ,3.