Задание №66319 ЕГЭ Профильной математике

Решение:
1) y’ = (x² — 10x + 10)’ × e^2-x + (x² — 10x + 10) × (e^2-x)’ = (2x — 10) × e^2-x + (x² — 10x + 10) × e^2-x × (-1) = (2x — 10) × e^2-x — (x² — 10x + 10) × e^2-x = e^2-x × ((2x — 10) — (x² — 10x + 10)) = e^2-x × (2x — 10 — x² + 10x — 10) = e^2-x × (-x² + 12x — 20)
2) y’ = 0 при -x² + 12x — 20 = 0
e^2-x > 0 при ∀ x
y’ = -x² + 12x — 20
x² — 12x + 20 = 0
По теореме Виета подбором

x₁ + x₂ = 12
x₁ × x₂ = 20

x₁ = 2
x₂ = 10

y’ = -(x — 2)(x — 10)
На [-1; 7] единственная точка экстремума и она минимум ⇒ в ней функция принимает наименьшее значение
y_{наименьшее} = y(X_min) = y(2) = (2² — 10 × 2 + 10) × e^2-2 = -6 × e⁰ = -6 × 1 = -6
Ответ: -6