Задание №66335 ЕГЭ Профильной математике

По свойству равнобедренной трапеции $\mathrm{AO}=\mathrm{OD}.$

Следовательно, $∆\mathrm{AOD}$ — прямоугольный и равнобедренный, значит, $\angle \mathrm{AOD}=45°.$ Рассмотрим $∆\mathrm{BHD}.$ Он прямоугольный, один из его острых углов равен $45°$ следовательно, второй тоже, значит, $∆\mathrm{BHD}$ — равнобедренный.

Отсюда следует, что $\mathrm{BH}=\mathrm{HD}.$

По свойству равнобедренной трапеции $\mathrm{AH}=\frac{1}{2}(\mathrm{AD}-\mathrm{BC}).$

 Тогда: $\mathrm{HD}=\mathrm{AD}-\frac{1}{2}(\mathrm{AD}-\mathrm{BC})=\frac{1}{2}(\mathrm{AD}+\mathrm{BC})=\mathrm{EF}.$ 

Следовательно, $48=\mathrm{BH}=\mathrm{HD}=\mathrm{EF}.$