Задание №67347 ЕГЭ Профильной математике

Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований: $\mathrm{MK}=\frac{\mathrm{DC}+\mathrm{AB}}{2}$

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: $\mathrm{DC}+\mathrm{AB} =\mathrm{DA}+\mathrm{CB}$

То, зная ${\mathrm{P}}_{\mathrm{ABCD}}$, найдём сумму оснований $\mathrm{DC}$ и $\mathrm{АВ}$: ${\mathrm{P}}_{\mathrm{ABCD}}=\mathrm{DC}+\mathrm{AB}+\mathrm{DA}+\mathrm{CB}=\mathrm{DC}+\mathrm{AB}+\mathrm{DC}+\mathrm{AB}=2·(\mathrm{DC}+\mathrm{AB})=30$

$\mathrm{DC}+\mathrm{AB} =\frac{30}{2}= 15$

Средняя линия MK равна: $\mathrm{MK}=\frac{\mathrm{DC}+\mathrm{AB}}{2}=\frac{15}{2}=7,5.$