Задание №70319 ЕГЭ Профильной математике

$\sin \left(\mathrm{B}\right)=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}.$

Отсюда:$\mathrm{AC}=\cos \left(\mathrm{B}\right)·\mathrm{AB}=\frac{4}{5}·\mathrm{AB}.$

Используем теорему Пифагора: ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2.$

Подставляем значения: ${\mathrm{AB}}^2={(\frac{4}{5}·\mathrm{AB})}^2+9^2.$

Решаем это уравнение: ${\mathrm{AB}}^2=\frac{16}{25}·{\mathrm{AB}}^2+81.$

Переносим все к одному знаменателю: ${\mathrm{AB}}^2-\frac{16}{25}·{\mathrm{AB}}^2=81.$

 $\frac{9}{25}·{\mathrm{AB}}^2=81.$

Умножаем на $25$: $9·{\mathrm{AB}}^2=225.$

Делим на $9$: ${\mathrm{AB}}^2=225.$

Извлекаем квадратный корень: $\mathrm{AB}=\sqrt{225}=15\text{\hspace{0.17em}см.}$