Задание №71394 ЕГЭ Профильной математике

Заметим, что угол $\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$ опирается на дугу $\cup \mathrm{AC}$, а угол $\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}$ опирается на дугу $\mathrm{AD}$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Таким образом, можно записать:

$\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\text{ дуги }\mathrm{AC}$ и $\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}=\frac{1}{2}\text{ дуги }\mathrm{AD}.$

Теперь найдем дугу $\mathrm{CD}$ через угол $\mathrm{\angle }\mathrm{CAD}$. Поскольку $\mathrm{\angle }\mathrm{CAD}$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $\mathrm{CD}$, имеем:

$\text{дуга }\mathrm{CD}=2·\mathrm{\angle }\mathrm{CAD}=2·{42}^{\circ }={84}^{\circ }.$

Дуга $\mathrm{ACD}$ (на которую опирается угол $\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$) равна сумме дуг $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{CD}$. Следовательно, дуга $\mathrm{AC}$ (на которую опирается угол $\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$) равна:

$\text{дуга }\mathrm{AC}=2·\mathrm{\angle }\mathrm{ABC}=2·{103}^{\circ }={206}^{\circ }$

Дуга $\mathrm{AD}$ равна разности дуг $\mathrm{AC}$ и $\mathrm{CD}$:

$\text{дуга }\mathrm{AD}=\text{дуга }\mathrm{AC}-\text{дуга }\mathrm{CD}={206}^{\circ }-{84}^{\circ }={122}^{\circ }.$

Теперь находим угол $\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}$:

$\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}=\frac{1}{2}\text{ дуги }\mathrm{AD}=\frac{1}{2}·{122}^{\circ }={61}^{\circ }.$