Задание №76402 ЕГЭ Профильной математике

Областью определения функции является интервал $\left(-3;+\mathit{\infty }\right)$, на котором она дифференцируема. Отрезок $\left[-2.5;-1\right]$ принадлежит области определения.

Отметим, что по свойству логарифмов $\mathit{l}\mathit{n}{\left(\mathit{x}+3\right)}^5=5\mathit{l}\mathit{n}\left(\mathit{x}+3\right)$, поэтому заданная функция имеет вид $\mathit{y}=-10\mathit{l}\mathit{n}\left(\mathit{x}+3\right)+10\mathit{x}$.

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций:

$\mathit{y}\prime =\frac{-10}{\mathit{x}+3}+10=\frac{-10+10\mathit{x}+30}{\mathit{x}+3}=\frac{10\mathit{x}+20}{\mathit{x}+3}=\frac{10\left(\mathit{x}+2\right)}{\mathit{x}+3},\mathit{y}\prime =\frac{10\left(\mathit{x}+2\right)}{\mathit{x}+3}$.

2. Заметим, что $\mathit{y}\prime =0$ при $\mathit{x}=-2$. Получаем единственную стационарную точку. $-2\in \left[-2.5;-1\right]$.

3. Так как $\mathit{x}+3>0$ в области определения, то  при  при . Производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при переходе через точку $\mathit{x}=-2$. Следовательно, эта точка является точкой минимума и в ней функция достигает наименьшего значения.

$\mathit{y}\left(-2\right)=-10\mathit{l}\mathit{n}\left(-2+3\right)+10·\left(-2\right)=-20$, так как $\mathit{l}\mathit{n}1=0$.