Задание №76403 ЕГЭ Профильной математике

Областью определения функции является промежуток $\left(-7;+\mathit{\infty }\right)$, на котором она дифференцируема

Отрезок $\left[-6,5;-4\right]$ принадлежит области определения

Отметим, что по свойству логарифмов в области определения функции выполняется равенство $\ln {\left(\mathit{x}+7\right)}^3=3\ln \left(\mathit{x}+7\right)$, поэтому заданная функция может быть представлена в виде $\mathit{y}=3\ln \left(\mathit{x}+7\right)-3\mathit{x}$

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций: $\mathit{y}\prime =\frac{3}{\mathit{x}+7}-3=\frac{3-3\mathit{x}-21}{\mathit{x}+7}=\frac{-3\mathit{x}-18}{\mathit{x}+7}=\frac{-3\left(\mathit{x}+6\right)}{\mathit{x}+7}$, $\mathit{y}\prime =\frac{-3\left(\mathit{x}+6\right)}{\mathit{x}+7}$

2. Заметим, что $\mathit{y}\prime =0$ при $\mathit{x}=-6$. Получаем единственную стационарную точку

3. Так как $\mathit{x}+7>0$ в области определения, то $\mathit{y}\prime >0$ при $\mathit{x}\in \left(-\mathrm{6,5};-6\right)$

 при $\mathit{x}\in \left(-6;-4\right)$. Производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $\mathit{x}=-6$

Следовательно, эта точка является точкой максимума и в ней функция достигает наибольшего значения

$\mathit{y}\left(-6\right)=3\ln \left(-6+7\right)-3\cdot \left(-6\right)=18$, так как $\ln 1=0$.

Ответ: 18