Задание №76404 ЕГЭ Профильной математике

Областью определения этой функции будет интервал $\left(-\mathit{\infty };2\right)$, в каждой точке которого функция дифференцируема, причём отрезок $\left[0;1.7\right]$ целиком лежит в области определения.

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производной сложной и логарифмической функций:

$\mathit{y}\prime =\frac{1}{4-2\mathit{x}}·\left(4-2\mathit{x}\right)\prime +\left(2\mathit{x}\right)\prime -\left(7\right)\prime =\frac{-2}{4-2\mathit{x}}+2=\frac{2\mathit{x}-3}{\mathit{x}-2}$.

$\mathit{y}\prime =\frac{2\mathit{x}-3}{\mathit{x}-2}$.

2. Находим стационарные точки из условия $\mathit{y}\prime =0.\frac{2\mathit{x}-3}{\mathit{x}-2}=0,$

$2\mathit{x}-3=0,$

$\mathit{x}=\frac{3}{2}$.

Получили одну стационарную точку $\mathit{x}=\frac{3}{2}$, которая принадлежит промежутку $\left(0;1.7\right)$.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $\left(2\mathit{x}-3\right)\left(\mathit{x}-2\right)=2{\mathit{x}}^2-7\mathit{x}+6$. Его графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, и корнями являются числа $\frac{3}{2}$ и $2$. Поэтому при  его знак «плюс», а при  знак «минус».

При переходе через точку $\mathit{x}=\frac{3}{2}$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $\mathit{x}=\frac{3}{2}$ является точкой максимума и в ней достигается наибольшее значение (так как других точек экстремума нет).

4. $\mathit{y}\left(\frac{3}{2}\right)=\mathit{l}\mathit{n}\left(4-2·\frac{3}{2}\right)+2·\frac{3}{2}-7=\mathit{l}\mathit{n}1+3-7=-4$.

Ответ: -4