Задание №76405 ЕГЭ Профильной математике

Областью определения этой функции является интервал $\left(4;+\mathit{\infty }\right)$, на котором функция дифференцируема. Найдём стационарные точки на указанном интервале и выберем ту из них, в которой производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной степенной и логарифмической функций.

$\mathit{y}\prime =\frac{-8}{2\sqrt{\mathit{x}}}+\frac{12}{\mathit{x}-4}=\frac{-8\left(\mathit{x}-4\right)+24\sqrt{\mathit{x}}}{2\sqrt{\mathit{x}}\left(\mathit{x}-4\right)}=\frac{-4\mathit{x}+16+12\sqrt{\mathit{x}}}{\sqrt{\mathit{x}}\left(\mathit{x}-4\right)}$.

2. Решаем уравнение $\mathit{y}\prime =0,-4\mathit{x}+16+12\sqrt{\mathit{x}}=0$.

Сделаем замену $\sqrt{\mathit{x}}=\mathit{t}$ $\left(\mathit{t}>2\right)$. Получим уравнение $-4{\mathit{t}}^2+12\mathit{t}+16=0;{\mathit{t}}^2-3\mathit{t}-4=0$. По формуле корней квадратного уравнения получаем:

${\mathit{t}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm 2}{5}$,

${\mathit{t}}_1=-1,{\mathit{t}}_2=4$.

$\mathit{t}=-1$ не удовлетворяет условию $\mathit{t}>2$.

Уравнение $\sqrt{\mathit{x}}=4$ имеет решение $\mathit{x}=16$. Получили единственную стационарную точку $\mathit{x}=16$, принадлежащую промежутку $\left(4;+\mathit{\infty }\right)$.

При $\mathit{x}>4$ знак производной совпадает со знаком функции ${\mathit{y}}_1=-4\mathit{x}+16+12\sqrt{\mathit{x}}$. Для определения её знака на интервале $\left(4;+\mathit{\infty }\right)$ достаточно найти её знак в двух точках, одна из которых меньше, чем $\mathit{x}=16$, и другая, больше, чем $\mathit{x}=16$.

${\mathit{y}}_1\left(9\right)=-4·9+16+12\sqrt{9}=-36+16+36>0$, а .

3. Получаем, что производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через единственную экстремальную точку $\mathit{x}=16$. Поэтому точка $\mathit{x}=16$ будет точкой максимума.