Задание №76406 ЕГЭ Профильной математике

Областью определения этой функции является интервал $\left(0;+\mathit{\infty }\right)$, в каждой точке которого она дифференцируема. Найдём стационарные точки в области определения и выберем ту из них, проходя через которую, производная меняет знак с «плюса» на «минус».

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования, формулами производных степенной и логарифмической функций:

$\mathit{y}\prime =\frac{2}{\mathit{x}}-\frac{1}{2\sqrt{\mathit{x}}}=\frac{4-\sqrt{\mathit{x}}}{2\mathit{x}}$.

2. Решаем уравнение $\mathit{y}\prime =0;4-\sqrt{\mathit{x}}=0.\sqrt{\mathit{x}}=4,\mathit{x}=16$.

Получили одну стационарную точку.

3. Так как $\mathit{x}>0$ и $\sqrt{\mathit{x}}>0$ в области определения, то знак производной совпадает со знаком функции ${\mathit{y}}_1=4-\sqrt{\mathit{x}}$. Она обращается в ноль в единственной точке $\mathit{x}=16$.

Находим знак этой функции при  и $\mathit{x}>16$. Для этого достаточно найти её значения хотя бы в одной точке каждого из указанных промежутков: ${\mathit{y}}_1\left(1\right)=4-\sqrt{1}=3>0$, а 

Тем самым, производная меняет знак с «плюса» на «минус» при переходе через точку $\mathit{x}=16$, которая и будет точкой максимума.