Задание №76407 ЕГЭ Профильной математике

Найдём без применения производной, какие значения принимает функция на отрезке $\left[12.6;51\right]$ и выберем из них наибольшее.

1. Пусть $\mathit{x}$ – произвольное число из отрезка $\left[12.6;51\right]$. Тогда $12.6\le \mathit{x}\le 51$. Отсюда по свойствам неравенств получаем: $63\le 5\mathit{x}\le 255,64\le 5\mathit{x}+1\le 256$.

2. Из предыдущего неравенства, по свойству логарифмов с основанием $0.5$, меньшим $1$, получаем $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}64\ge \mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}\left(5\mathit{x}+1\right)\ge \mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}256$. Но, $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}64=\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\frac{1}{2}}64=\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\frac{1}{2}}{2}^6=\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\frac{1}{2}}{\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}\right)}^6=\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-6}=-6$.

Аналогично, $\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}256=-8$. Поэтому $-8\le \mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}\left(5\mathit{x}+1\right)\le -6,6\le -\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}\left(5\mathit{x}+1\right)\le 8,12\le -2\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}\left(5\mathit{x}+1\right)\le 16$.

Теперь, по свойству квадратного корня получаем, $\sqrt{12}\le \sqrt{-2\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}\left(5\mathit{x}+1\right)}\le \sqrt{16}=4$.

Но $\sqrt{-2\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{0.5}\left(5\mathit{x}+1\right)}=\mathit{y}$, поэтому $\sqrt{12}\le \mathit{y}\le 4$.

3. Таким образом, функция определена на всём отрезке $\left[12.6;51\right]$ наибольшим значением является $4$ и получается это значение при $\mathit{x}=51$.