Задание №76408 ЕГЭ Профильной математике

Областью определения функции является промежуток $\left(0;+\mathit{\infty }\right)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "минуса" на "плюс".

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$\mathit{y}\prime =2\mathit{x}-21+\frac{55}{\mathit{x}},\mathit{y}\prime =\frac{2{\mathit{x}}^2-21\mathit{x}+55}{\mathit{x}}$.

2. Решаем уравнение $\mathit{y}\prime =0;2{\mathit{x}}^2-21\mathit{x}+55=0.{\mathit{x}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{21\pm \sqrt{441-440}}{4}=\frac{21\pm 1}{4}.{\mathit{x}}_1=5,{\mathit{x}}_2=5.5$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2{\mathit{x}}^2-21\mathit{x}+55$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа ${\mathit{x}}_1=5$ и ${\mathit{x}}_2=5.5$.

Поэтому при  производная имеет знак «плюс», знак «минус» при , и знак «плюс» при $\mathit{x}>5.5$.

При переходе через точку $5.5$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Поэтому эта точка и будет точкой минимума.

Ответ: 5.5