Задание №76409 ЕГЭ Профильной математике

Областью определения функции является промежуток $\left(0;+\mathit{\infty }\right)$, на котором она дифференцируема. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования и формулами производной логарифмической и степенной функций.

$\mathit{y}\prime =2\mathit{x}-11+\frac{15}{\mathit{x}}=\frac{2{\mathit{x}}^2-11\mathit{x}+15}{\mathit{x}},\mathit{y}\prime =\frac{2{\mathit{x}}^2-11\mathit{x}+15}{\mathit{x}}$.

2. Решаем уравнение $\mathit{y}\prime =0;2{\mathit{x}}^2-11\mathit{x}+15=0.{\mathit{x}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{11\pm \sqrt{121-120}}{4}=\frac{11\pm 1}{4}.{\mathit{x}}_1=2.5,{\mathit{x}}_2=3$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $2{\mathit{x}}^2-11\mathit{x}+15$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа ${\mathit{x}}_1=2.5$ и ${\mathit{x}}_2=3$.

Поэтому при  производная имеет знак «плюс», знак «минус» при , и знак «плюс» при $\mathit{x}>3$.

При переходе через точку $2.5$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: 2.5