Задание №76410 ЕГЭ Профильной математике

Заметим, что заданная функция определена и дифференцируема при любом значении $\mathit{x}$. Найдём стационарные точки и выберем ту из них, при переходе через которую, производная меняет знак с "плюса" на "минус".

1. Находим $\mathit{y}\prime$, пользуясь правилами дифференцирования, формулой производной произведения двух функций, и производной степенной и показательной функции:

$\mathit{y}\prime =\left(10\mathit{x}-3\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}+5}+\left(5{\mathit{x}}^2-3\mathit{x}-3\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}+5}={\mathit{e}}^{\mathit{x}+5}\left(5{\mathit{x}}^2+7\mathit{x}-6\right),\mathit{y}\prime ={\mathit{e}}^{\mathit{x}+5}\left(5{\mathit{x}}^2+7\mathit{x}-6\right)$.

2. Решаем уравнение $\mathit{y}\prime =0$. Так как ${\mathit{e}}^{\mathit{x}+5}>0$, то $5{\mathit{x}}^2+7\mathit{x}-6=0.{\mathit{x}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-7\pm \sqrt{49+120}}{10}=\frac{-7\pm 13}{10}.{\mathit{x}}_1=-2,{\mathit{x}}_2=0.6$. Получаем две стационарные точки.

3. Знак производной совпадает со знаком квадратного трёхчлена $5{\mathit{x}}^2+7\mathit{x}-6$. Графиком этого трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вверх и корнями являются числа ${\mathit{x}}_1=-2$ и ${\mathit{x}}_2=0.6$.

Поэтому при  производная имеет знак «плюс», знак «минус» при , и знак «плюс» при $\mathit{x}>0.6$.

При переходе через точку ${\mathit{x}}_1=-2$ производная меняет знак с «плюса» на «минус». Поэтому эта точка и будет точкой максимума.

Ответ: -2