Задание №76525 ЕГЭ Профильной математике

1) По теореме Вариньона $\mathrm{KLMN}$ — параллелограмм. Но т.к. $\mathrm{KN}\parallel \mathrm{BD}, \mathrm{KL}\parallel \mathrm{AC}, \mathrm{BD}\perp \mathrm{AC}, \text{то} \mathrm{KN}\perp \mathrm{KL}, \mathrm{значит} \mathrm{KLMN}$ — прямоугольник, причем ${\mathrm{S}}_{\mathrm{KLMN}}=\mathrm{KN}·\mathrm{KL}.$

Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}·\mathrm{BD}$

Но $\mathrm{KN}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}, \mathrm{KL}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$ как средние линии, следовательно, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}·\mathrm{BD}=2\mathrm{KN}·\mathrm{KL}=2·{\mathrm{S}}_{\mathrm{KLMN}}$.

2) Аналогично $\mathrm{PQRS}$ — параллелограмм. Но, как средние линии, $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}\mathrm{NL}, \mathrm{PS}=\frac{1}{2}\mathrm{KM}, \text{a} \mathrm{NL}=\mathrm{KM}, \text{значит} \mathrm{PQ}=\mathrm{PS}.$ Следовательно, $\mathrm{PQRS}$ — ромб.

Заметим, что  $\mathrm{QS}=\mathrm{KN}, \mathrm{PR}=\mathrm{KL},$значит, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{PQRS}}=\frac{1}{2}\mathrm{QS}·\mathrm{PR}=\frac{1}{2}\mathrm{KLMN}.$

Из всего этого следует, что  ${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=4{\mathrm{S}}_{\mathrm{PQRS}.}$

Значит, отношение равно $4.$