Задание №76526 ЕГЭ Профильной математике

Рассмотрим картинку:
 

Во-первых, т.к. окружность описана около треугольника $\mathrm{BCD},\text{ то ее центр} \mathrm{O}$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Следовательно, $\mathrm{O} \text{лежит на серединном перпендикуляре к} \mathrm{BD}\text{ – а это и есть} \mathrm{CA}$ по свойству ромба (диагонали взаимно перпендикулярны). Таким образом, $\mathrm{CK}$ – диаметр этой окружности.

Рассмотрим треугольники $\mathrm{CDO} \mathrm{и} \mathrm{ADK}.$
 

$$\begin{gathered} \text{1) Т.к.}\angle \mathrm{CDK} \text{опирается на диаметр} \mathrm{CK}\text{, то он равен} 90°. \\ \text{Т.к.} \mathrm{AD}\text{ – касательная к окружности, то угол между ней и радиусом} \mathrm{OD}\text{ равен} 90°. \\ \text{ Заметим, что углы} \angle \mathrm{CDK} \mathrm{и} \angle \mathrm{ODA}\text{ имеют общую часть – угол} \mathrm{ODK}. \\ \text{Следовательно, т.к. они равны, то равны и другие их части:} \angle \mathrm{CDO}=\angle \mathrm{ADK}=\mathrm{\alpha }. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{2) Т.к. треугольник }\mathrm{CDO} \text{равнобедренный} (\mathrm{CO}=\mathrm{OD} \text{– радиусы}), \text{то} \angle \mathrm{DCO}=\mathrm{\alpha }. \\ \text{ Т.к. треугольник} \mathrm{CDA} \text{равнобедренный, то} \angle \mathrm{DAK}=\angle \mathrm{DCO}=\mathrm{\alpha }. \end{gathered}$$

3) Таким образом, по стороне и двум прилежащим к ней углам $(\mathrm{CD}=\mathrm{DA}, \angle \mathrm{DCO}=\angle \mathrm{CDO}=\angle \mathrm{ADK}=\angle \mathrm{DAK}) \text{треугольники} \mathrm{CDO} \text{и} \mathrm{ADK} \text{равны.}$ Следовательно, $\mathrm{KA}=\mathrm{CO}.$

Значит, $\frac{\mathrm{CK}}{\mathrm{KA}}=\frac{2\mathrm{CO}}{\mathrm{CO}}=2.$