Задание №76529 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{ABCD}$— ромб и $\angle \mathrm{A}=60°$. Пусть $\mathrm{AC}\cap \mathrm{BD}=\mathrm{O}$.

Докажем, что $\mathrm{AC}$— большая диагональ.

Так как ромб является параллелограммом, то в нем диагонали точкой пересечения делятся пополам: $\mathrm{AO}=0,5\mathrm{AC}, \mathrm{DO}=0,5\mathrm{BD}.$

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны, то $\angle \mathrm{DAO}=30°, \angle \mathrm{AOD}=90°$  и соответственно $\angle \mathrm{ADO}=60°$.

В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, следовательно, $\mathrm{AO}>\mathrm{DO}$. Значит, — большая диагональ.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30°$ равен половине гипотенузы, следовательно,

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $\mathrm{AOD}$:

Значит, большая диагональ ромба равна $3.$